【走向高考】高三数学一轮复习 125古典概型（北师大）

考纲解读1理解古典概型及其概率计算公式2会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率考向预测1古典概型的概率是高考考查的重点，通常要结合互斥事件、对立事件求概率2各种题型均有可能出现，属中低档题知识梳理1基本事件有如下两个特点(1)任何两个基本事件是 的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成互斥基本事件的和2古典概型(1)试验的所有可能结果，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每个试验出现的结果的可能性 ；称这样的试验为古典概型判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：只有有限个相同有限性和等可能性基础自测1(教材改编题)下列概率模型中，是古典概型的有()从区间1,10内任意取出一个数，求取到1的概率；从110中任意取出一个整数，求取到1的概率；向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率A1个B2个C3个 D4个答案A解析不是古典概型；基本事件有无限个；两个基本事件出现的可能性不相等；是古典概型2(2008天津)高一(2)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查在这个试验中，基本事件的个数为()A2 B4C6 D8答案C解析设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6个答案B 答案C 答案C 答案A 5一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有1,2,3号码的3个黑球，从中任意摸出2个球，则该试验的基本事件有_，基本事件总数为_答案白黑1，白黑2，白黑3，黑1黑2，黑1黑3，黑2黑36解析由于口袋中的4个球的大小相同，且摸出可能性相同，所以是古典概型在该摸球试验，即从装有4个不同球的口袋中摸出2球的试验中，含有以下所有等可能的结果(基本事件)：白黑1，白黑2，白黑3，黑1黑2，黑1黑3，黑2黑3，共有6种6(2011韶关模拟)一次抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和不大于4的概率为_7一袋子中装有红、白、黄、黑四个小球，其重量、大小均相同(1)从中任取一球，求取出白球的概率；(2)从中任取两球，求取出的是红球和白球的概率例1判断下列命题正确与否(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是(2)射击运动员向一靶心进行射击试验的结果为：命中10环，命中9环，命中0环，这个试验是古典概型；(3)袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同分析弄清基本事件的个数，古典概型的两个特点及概率计算公式点评弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分，而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性判断下列命题正确与否：(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同(2)从4，3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同；(3)分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同；(4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同点评古典概型要求所有结果出现的可能性相等，强调所有结果中每一结果出现的概率相同.例2某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，求下列事件的概率：(1)A：经检测两听都是合格品；(2)B：经检测两听中一听合格，一听不合格；(3)C：检测出不合格产品分析显然属于古典概型，所以先求出任取2听的基本事件总数，再分别求出事件A、B、C所包含的基本事件的个数，套用公式求解即可解析设合格的4听分别记作1,2,3,4，不合格的两听分别记作a，b.方法一：如果看作是一次性抽取2听，没有顺序，那么所有基本事件为：(1,2)(1,3)(1,4)(1，a)(1，b)(2,3)(2,4)(2，a)(2，b)(3,4)(3，a)(3，b)(4，a)(4，b)(a，b)共15个方法二：如果看作是依次不放回抽取两听，有顺序，那么所有基本事件为：(1,2)(1,3)(1,4)(1，a)(1，b)(2,1)(2,3)(2,4)(2，a)(2，b)(3,1)(3,2)(3,4)(3，a)(3，b)(4,1)(4,2)(4,3)(4，a)(4，b)(a,1)(a,2)(a,3)(a,4)(a，b)(b,1)(b,2)(b,3)(b,4)(b，a)共30个点评产品的抽样检验问题与取球问题都属于同一类型问题，解决此类问题要分清题意，分清是“有放回”还是“无放回”，是“有序”还是“无序”，基本事件是什么，所求的事件包含几种情况，各包含多少个基本事件若“有序”“无序”都能解决时，“无序”比较简单将骰子先后抛掷2次，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的数字之和是5的结果有多少种？解析(1)先后抛掷两次骰子的基本事件总数如下表：一共有6636(种)不同的结果1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(2)在(1)问的36种结果中，向上的数字之和是5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4种，(其中(1,4)表示第1次抛掷后向上的数字为1，第2次抛掷后向上的数为4，其他类似)上面的结果可用右图表示，其中不在虚线框内的各数为相应的2次抛掷后向上的数之和不为5.点评本题前两问都用了图表的方法给出了先后两次抛掷骰子的所有结果和两次点数之和的各种情况，比用列举法给出显得更加直观、清晰，这种方法可有效地防止重复和遗漏，不失为一种好的方法，如再问两次点数之和为4的倍数的概率是多少，两次点数之和出现概率最高的是哪种结果等，都可尽收眼底，大家要好好把握此法.例3(文)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a，第二次朝下面的数字为纵坐标b，求点(a，b)落在直线xy1下方的概率解析(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有2,3,4，1,3,4，1,2,4，1,2,3，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P(A)(理)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为 .现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率分析因为袋中共有7个球，基本事件总数是有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概型另外要注意球是不放回的摸球每次摸出的球不能重复点评从本题可看出，概率问题的难点在于正确分析某事件所有可能结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件的概概只是解决问题的工具而已另外该题涉及到无放回地抽样对于无放回地抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次，与其相对应的是有放回的抽样，对于有放回地抽样，依次摸出的球可以重复出现，且摸球可无限地进行下去在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取出一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取出一张卡片，记下它的读数y，试求：xy是10的倍数的概率1求古典概型概率的步骤(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A.(3)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所含的基本事件个数m.(4)利用公式P(A)求出事件A的概率注意：用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件(每个结果出现是等可能的)，否则计算出的概率将是错误的2利用集合的观点研究古典概型的概率设在一次试验中，等可能出现的n个结果构成一个集合I，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A，则事件A发生的概率为P(A).注意：明确两点：选取适当的集合I，使它满足等可能的要求，找出n的值；把事件A表示为I的某个子集，找出m的值