《高考风向标》(理科)数学第一章集合与函数概念

第 一 章 集 合与函数概念知识网络第一讲 集合知识梳理集合的含义及其关系1 .集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2 .集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于e不属于4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N工 或M，ZQRC集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同Aq B 旦 AoA =B子集A中任意一元素均为B中的元素Aq B或B3A真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素A三B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集0 q A ,(jB(8 W 0)三：集合的基本运算两个集合的交集:A C l 8=卜|%4且工3 ;两个集合的并集：A U 8 =x|x e A或尤G 3卜设全集是U,集合A U，则CVA=x|x e U J l x eA交并补AuACB=x x e A.Hx E BAU8=x l x A,或C =xx G U且X e A(IE)o方法:常用数釉或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.重、难点突破重点：集合兀素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2 .集合的表示法(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质,如 弗=/(x)、y|y =/(%)(x,y)|y =/(x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误:问题：已知集合M=，乂 工+工=1!刀=引 +工=1 ,则McN=()1 9 4 32 JA.；B.(3,0),(0,2)；C.-3,3 ；D.3,2 2 2 错解 误 以 为 集 合 表 示 椭 圆 二+匕=1,集合N表 示 直 线2 +工=1,由于这直线过9 4 3 2椭 圆 的 两 个 顶 点，于 是 错 选B 正解C；显然M=x|-3 4 x W 3 ,N =A,故nN=3,3(3)V e n n图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用V e n n图。3 .集合间的关系的几个重要结论(1)空集是任何集合的子集，即“q A(2)任何集合都是它本身的子集，即A(3)子集、真子集都有传递性，即若A =B=C ,则AqC4.集合的运算性质(1)交集：4 08 =8口4;ADA=A;A f l O =。；APlBqA，A C l B q B A P|8=A =A =(2)并集：AU 8 =8 U A;AU A=A;A U 0 =4;AU 8 =A =Bq A；(3)交、并、补集的关系Anc”=。；A UC A =U Q(A。8)=(C(/A)U(O B)；/(A U 6)=(C)A (Q,B)热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题 型1：集合元素的基本特征 例1 (20 0 8年江西理)定义集合运算：A*8 =z l z =x y,x e A,y e 8 .设A =l,2,8=0,2,则集合A*8的所有元素之和为()A.0；B.2；C.3；D.6 解题思路 根据A*3 的定义，让 x在 4 中逐一取值，让 y在 3 中逐一取值，町 在 值 就 是 的元素 解析:正 确 解 答 本 题，必 需 清 楚 集 合 A*8 中的元素，显 然，根据题中定义的集合运算知4*3 =0,2,4,故应选择 D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的基本关系 例 2.数集X =(2+1)万,2 与丫=(4A 1)4 e Z 之的关系是()A.X 三y；B.Y X；C.X =Y；D.X 解题思路 可有两种思路：一是将x 和 y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析从题意看，数集x 与 y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D 成立，则 A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。新题导练1 .第二7 九届夏季奥林匹克运动会将于20 0 8年 8 月 8 日在北京举行，若集合A=参加北京奥运会比赛的运动员,集合B=参加北京奥运会比赛的男运动员,集合C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是()A.A =8 B.B c C C.A P l B =C D.BJC=A 解析D；因为全集为A ,而 8 U C=全集=A2.(20 0 6 山 东 改 编)定 义 集 合 运 算：A(8)8=z =x 2y +x y 2,x e A,y e “，设 集 合A =1,0 ,B=2,3,则 集 合 的 所 有 元 素 之 和 为 解析 1 8,根据A 8)8的定义，得到A(8)8=0,6,1 2,故 A 8)3 的所有元素之和为1 83 .(20 0 7湖 北 改 编)设 P和。是 两 个 集 合，定 义 集 合 P Q=x l x e P,且X 任0,如果P=x|1 0 g3 X 1 ,Q =x|x|1 ,那么 P-Q 等于 解析 x|l x 3)；因 为 尸=同 咋 3%1=(0,3),Q =x|x|=-4 表示y =/-4的定义域，故 A =R；3 =加=2 4 表示函数y =/-4的值域，B=f-4,+o o)；C =(x,y)|y =4 表示曲线y =/4上的点集，可见，B A,而 A 与C,8与。都无包含关系考点二：集合的基本运算 例 3 设集合 4 =卜|3 x+2=。,B=x|x2+2(a+l)x+(a2-5)=0)(1)若A nB =2,求实数a的值；(2)若A U 8=A，求实数a的取值范围若A n8=2,解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析 因为 A=卜苗 _3 x+2=()=1,2,(1)由 A DB =2知,2&B,从而得2?+4 3 +1)+面 一5)=0,即a2+4 t z+3 =0,解得。=一1 或。=一3当。=-1时，8 =卜,2-4 =0 =|_ 2,2，满足条件；当。=一3时，B=x|x2-4 x+4 =0)=2,满足条件所以a =-1或。=-3(2)对于集合 8,由 =4(4 +1)2-4(/-5)=8(。+3)因为A U 8=A,所以B qA当A 0,即。(),即。一3时，8 =A=1,2才能满足条件，1 +2=2(a +1)由根与系数的关系得 ，1X2=Q2-55a=2,矛盾/=7故实数a的取值范围是a 4 3【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练6.若集合S =y|y =3 ,xe/?,7 =y|y =x2-l,xe/?),则5口T是()A.S；B.T ；C.。；D.有限集 解析A；由题意知，集合5=卜 卜=3 ,%/?表示函数=3*,了/?的值域，故集合 S =(0,+o o)；T =yy=x2-l,x&/?表示函数 y =x2-l,x e R 的值域，T=I,+OO),故 snr =s7 .已知集合 A/=(x,y)|x+y =2,N =(x,y)|x-y =4 ,那么集合 0 为()A.x=3,y =1；B.(3,-1)；C.3,-1；D.(3,-1)解析D；M P I N表示直线x+y =2与直线x y =4的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。8 .集合 A=x I a x-1 =0 ,3 =卜 I-3 x+2=0 ,且 A )B=B，求实数 a 的值.解析先化简 B 得，8 =1,2,由于A U B =B=A=故 或 2e A.因此。一1 =0或2。-1 =0,解得。=1或“=.2容易漏掉的一种情况是：A=0的情形，此时a =0.故所求实数a的值为0,1,2备选例题 1:)口 M=y|y =x+l ,TV =(x,y)|x2+y2=1,则 M C|N 中的元素个数是()A.0；B.1；C.2；D.无穷多个 解析 选A;集合M表示函数y=x+i的值域，是数集，并且M =R，而集合N表示满足/+/=1的有序实数对的集合，即表示圆/+)/=1上的点，是点集。所以，集合”与集合N中的元素均不相同，因而MnN=，故其中元素的个数为0 误区分析 在解答过程中易出现直线y =x+l与圆/+y 2=1有两个交点误选c；或者误认为y =x+l中yeR,而/+y?=1中一 1 4),4 1,从而M 口 N =有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性(是点集还是数集)是准确进行有关集合运算的前提和关键。备选例题2：已知集合4和集合B各 仃1 2个元素，A CI 5含有4个元素，试求同时满足卜而两个条件的集合。的个数：(I)。些AUB.且C中含有3个元素；(n)cn4w”(。表示空集)解 法 因为A、B各有1 2个元素，AC 3含有4个元素，因此，AU8的元素个数是1 2 +1 2 4 =2()故满足条件(I )的集合C的个数是C；o上面集合中，还满足cna=。的集合。的个数是因此，所求集合C的 个 数 是 一 =1 0 84 解法二 由题目条件可知，属于8而不屈于4的兀索个数是1 2-4 =8因此，在AU8中只含有A中1个元素的所要求的集合。的个数为G C：含有A中2个元素的所要求的集合。的个数为含有A中3个元素的所要求的集合C的个数为Cf2所以，所求集合。的个数是+C：2 =1 0 84抢分频道基础巩固训练：-1.(0 9年吴川市川西中学0 9届第四次月考)设全集 f 广基U =R,A =x|x(x+3)0,8=x|x。；B.x卜3 x。；C.|x|-3 x；D.x|x-l 解析C；图中阴影部分表示的集合是408，而4 =卜|一3%0 ,故A P|B =x|-3cx 0,3 =卜 隧2工0则AU8 =A.(0,1)：B.(0,2)；C.(-o o,0)；D.(-o o,0)U(0,+o o)解析A；因为 A =卜0 x 1,B-x|0 x 1),所以 A U 8=*|0 x 3,T =xl a xa +8,SU T =R，则 a 的取值范围是()A.一3。一1；B.-3 d!-1C.。-3或。2-1；D.。一1 解析A；S=x I|x-2|3)=xx 5),T =xaxa+S 9 S JT =R所以1“,一1 ,从而得3 a5综合提高训练：6.6 =徊-1 m o,Q =m e R m x2+4m x-4 0对于任意实数其恒成立则下列关系中立的是()A.P Q;B.Q P;C.P =Q;D.P n =m 0 解析A；当mw O时，有 ，即 A =(4 m)-4 x m x(-4)0Q =2 7?|1 机 0卜 当机=0时，加x?+4 m x-4 0也恒成立，故Q =m E R -1 m o9 所以 PQ7.设/()=2 +l(N),P =1 2 3,4,5,Q =3 4 5,6,7,记)=eN|/()eP,B ,已知 A=x中=J 2 x-/,B=y I y=2*,x0,则A X B等 于()A.0,+o o)；B.0,l U 2,+o o)；C.0,l)U 2,+o o)；D.0,l U(2,+o o)解析D;2 x-x2 0=0 x 0n2、l,A B=(1,+),.,.A U B=0,+8),A CB=(1,2|,则 A X B=0,l U(2,+8)第2讲 函 数 与 映 射 的 概 念知识梳理1 .函数的概念(1)函数的定义：设4、8是两个非空的数集，如 果 按 照