《线性代数》教案授课教案

第一章行列式本章说明与要求：行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代 数以及其他数学分支上都有着广泛的应用.在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则).本章的重点是行列式的计算，要求在理解阶行列式的概念，掌握行列式性质 的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的”阶行列式.计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算.但在展开之 前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公 因式，从而简化计算.常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角 形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法.行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则).要掌握克莱姆法则并注 意克莱姆法则应用的条件.本章的重点：行列式性质；行列式的计算。o 本章的难点：行列式性质：高阶行列式的计算：克莱姆法则。1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式 引出来的.因此我们首先讨论解方程组的问题.设有二元线性方程组卜 1而+/2天=4 (1)ci2lxi+a22x2=b21用加减消元法容易求出未知量X,必 的 值,当。1。2 2-1 2。2仔0时,有_ 4。22-。1 2“2X -21 1 2 2 一。1 2。2 15 (2)a b2-ba2七 一.aia22 a2a2这就是一般二元线性方程组的公式解.但这个公式很不好记忆，应用时不方便,因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源.我们称4个数 组成的符号a2Q C Z 2 2 1为二阶行列式.它含有两行，两列.横的叫行，纵的叫列.行列式中的数叫做行列 式的元素.从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：个是从左上角到右下角 的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角 到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号.根据定义，容易得知(2)中的两个分子可分别写成O|2 2 -a12b2=./也 一仇,，。2 。2 2 0 2 1%如果记。=为2D、=瓦，D2=aa 2!a22b2a22a 2ib2则当。H O时，方程组(1)的解(2)可以表示成bxa2abb2。2 2D2b2一，(3)X -Daa2X。Da2a 2ia2221a22象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆.首先(3)中分母的行列式是从(1)式中的系数按其原有的相对位置而排成的.分 子中的行列式，制的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而也2的分子则是把系数行列式的第2 列换成常数项而得到的.例 1用二阶行列式解线性方程组2玉 +4X2=1X +3%2=22 4解：这时 D=2 x 3-4x l=2w()，1 31 4D.=l x 3-4 x 2 =-5 J1 2 32 1D、=2 x 2-l x l =3 -1 2因此，方程组的解是D.-5 D2 3 x.=-,x.=-=1 D 2 2 D 2对于三元一次线性方程组a,i X1+al 2x2+al 3x3=b a2 lx(+a2 2x2+。2333=久 a3 Ix,+a3 2x2+a3 3x3=b3(4)作类似的讨论，我们引入二阶行列式的概念.我们称符号a a2%3a2 a22 a23=%2 2 a 33+。1 2.2 3。31+21a32(5)“31。32 33-4|田2332 一 12。2133 一。13a2203I为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和.这六项的和也可用对角线法则来 记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘 积取负号.2 1 2例 2 _ 4 3 12 3 5=2x 3x 54-1 x 1 x 2+(-4)x 3 x 2-2 x 3 x 2-l x (-4)x 5-2x 3x 1 二=30 +2-24-1 2+20-6=1 03令II 1213Da2 3a 31 4 32仇2，=仇 a22。3233仇b2b3仇b2b、l W 0 时，（4）的解可简单地表示成X|=D*2DDyD(6)它的结构与前血二元一次方程组的解类似.例3解线性方程组2xt-x2+x3=0 3/+2X2-5X3=1%1 +3X2-2X3=42-1 1解：。=3 2-5=28,1 3-20，二 i42-5=1 3,3 一22。2 =30 11 -5=4 7，4-22-10小=3 2 1 =21.1 3 4所以,a _ 1 3 D 2 S%2=P2 D4728工3D212834a b 0例4已知一6 a 0 =0 ,问a,b应满足什么条件？（其中a,h均为实数）.1 0 1a b Q解：b a 0 =a2+f t2,若要/十/小，则 a与须同时等于零.因此，当1 0 14a=0且b=0时给定行列式等于零.为了得到更为般的线性方程组的求解公式,我们需要引入阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识.1.2 排列与对换在”阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的些基本 知识.定义1 由数码1,2,组成一个有序数组称为一个级排列.例如，123 4是一个4 级排列，3 412也是一个4 级排列，而 523 41是一个5 级 排列.由数码1,2,3组成的所有3 级排列为：123,13 2,213,23 1,3 12,3 21共 有 3!=6个.数字由小到大的 级排列123 4”称为标准次序排列.定义2 在一个n级排列，心九中，如果有较大的数i,排在较小的数6 的前面(/；/,),则 称，与 2,构成一个逆序，一 个“级排列中逆序的总数，称为这个排列的 逆序数，记作船(3 2”)例如，在 4 级排列3 412中，3 1,3 2,41,4 2,各构成一个逆序数，所以，排列3 412的逆序数为N(3 412)=4.同样可计算排列523 41的逆序数为N(523 41)=7.容易看出，标准次序排列的逆序数为0.定 义 3如果排列那2“的逆序数M 3 2 力，)是奇数,则称此排列为奇排列,逆序数是偶数的排列则称为偶排列.例如，排 列 3 412是偶排列.排列523 41是 奇 排 列.自 然 排 列 123 是偶排 列.定义4 在一个n级排列八中，如果其中某两个数力与匕对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级 排 列 这 样 的 变 换 称 为 一 个对换，记作伍,力如在排列3 412中，将 4 与 2 对换，得到新的排列3 2 1 4.并且我们看到：偶 排列3 412经过4 与2 的对换后,变成了奇排列3 2 1 4.反之，也可以说奇排列3 2145经过2 与 4 的对换后，变成了偶排列3412.一般地，有以下定理：定 理 1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变.证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：aia2-a iijb ib 2-bmclC2-c 将相邻两个数i 叮j 作一次对换，则排列变为勾仇岳仇”。道 2以显然对数a”a2,1 1 a i，b,岳，和以来说，并不改变它们的逆序数.但 当i j时，经过i 与/的 对换后，排列的逆序数减少1个.所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性.再讨论一般情况，设排列为1 色a 从仇瓦,（/C|C2G,将，与J 作一次对换，则排列变为a/2占 也 媪 I Q这就是对换不相邻的两个数的情况.但它可以看成是先将i 与 小对换，再与历对 换，最后与瓦，的对换，即 i 与它后面的数作，次相邻两数的对换变成排列a a 2-a ibb2-bmijci-cn然后将数j 与它前面的数i,b“,仇作?+1 次相邻两数的对换而成.而对换不相 邻的数，与/（中间有机个数），相当于作2?+1次相邻两数的对换.由前面的证明知,排列的奇偶性改变了 2阳+1次，而 2加+1 为奇数，因此，不相邻的两数i,j 经过对 换后的排列与原排列的奇偶性不同.定理2任一”级 排 列 3 都可通过一系列对换与n级自然序排列12-/1互 变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性.证明：对排列的级数用数学归纳法证之.对于2 级排列，结论显然成立.假设对”-1 级排列，结论成立，现在证明对于级排列，结论也成立.6若 i,产”，则根据归纳假设刀2 是”-1 级排列，可经过系列对换变成1 2 于是这一系列对换就把3 2 变 成 1 2”.若则先施行与W 的对 换，使 之 变 成 这就归结成上面的情形.相仿地，1 2 也可经过一系 列对换变成3 2“为，因此结论成立.因 为 1 2 是偶排列，由定理1 可知，当浦2 i 是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i 心具有相同的 奇偶性.1.3 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手.引出”阶行列式的定义.已知二阶与三阶行列式分别为aa2a2a22ail a2 a)a 22“31 432a3a23=1 1 22a33+4 l2 a 2 3 a 31+%3a2132a33 411。23a32 412421a33 413 a 2 2 a 31其中元素他的第个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标，表 示此元素位于第，列，称为列标.我们可以从中发现以卜 规律：(1)二阶行列式是2!项的代数和，三阶行列式是3!项的代数和；(2)二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的 列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列：(3)每一项的符号是：当这项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的 列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号.作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义.7定 义 1由排成“行列的小个元素 jG 六I,2,组成的a i an A aXna2 a22 A a2nA A A A 利 a#2 A称为八阶行列式.它是川项的代数和,每 项是取自不同行和不同列的个元 素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排 列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号.于是得11 a2 A ana2 A其中 表示对所有的级排列Ju?求和.hhA 当二 2、3 时，这样定义的二阶、三阶行列式与一上面1.】中用对角线法则定义 的是一致的.当八二 1 时，一阶行列为匕=但对角线法则对高阶行列式不适用 如AAAa22A。”2a2nAhhA inail ai2当=4时，4 阶行列式表示4!=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4 个元素的乘积恰为4 1 项.根据阶行列式的定义，4 阶行列式为,6211 12 G 13 14。22。31。32a41。42。24“34=Z（T）S a4 24 3华 hhA卜例 如。必231图 42行标排列为1234,元素取自不同的行;列标排列为4 3 1 2,元8素取自不同的列，因为N(小=5,所以该项取负号，即-由必23。31a42是上述行列式 中的一项.为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题.例 1在 5 阶行列式中，23a35“4阕 54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514.因 N(23514)=4 故这一项应取正号.例 2写出4 阶行列式中，带负号且包含因子。1口 23的项.解：包含因子内口23项的般形式为(1)aa2iaijtaA jt按定义，力可取2 或 4,亦可取4 或 2,因此包含因子aii“23的项只能是a 11a23a32a44 或 a 口 23a34a42但因 N(1324)=1为奇数N(1342)=2为偶数所以此项只能是-(7|。23。32。44.例 3计算行列式a b 0 0 c J 0 0 x y e f u v g h解这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项.但只有以下四 项ad eh,adfg,bceh,bcfg不为零.与这四项相对应得列标的4