《椭圆的简单几何性质（1）》教案
◆ 教学目标
1．掌握椭圆的简单几何性质．
2．能根据几何条件求出椭圆标准方程，利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形．
◆ 教学重难点
◆
重点：掌握椭圆的简单几何性质．
难点：利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形．
◆ 教学过程
一、 新课导入
我们利用椭圆的定义及图象认识了椭圆并且得到椭圆的标准方程，接下来，与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等．
二、新知探究
问题1 由椭圆C的标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0 ①和图象，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊?
1．范围
由方程①可得椭圆C上的任意一点P(x, y)总满足x2a2⩽1．y2b2⩽1，即-a⩽x⩽a，-b⩽y⩽b．
这说明椭圆C位于四条直线：x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形区域内．
2．对称性
根据椭圆方程的结构特点，可以发现：若(x0,y0)是椭圆方程的一组解，即x02a2+y02b2=1，则(x0，-y0)，(-x0，y0) ，(-x0，-y0)也是方程的解，这说明：若点P(x0,y0)在椭圆上，则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x0，-y0)，P2(-x0，y0)，P3(-x0，-y0)也在椭圆上．这说明椭圆x2a2+y2b2=1既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形．这个中心称为椭圆的中心．
3．顶点
在椭圆C的标准方程①中，当x=0时， y=±b．这说明B1(0，-b)，B2(0，b)是椭圆C与y轴的两个交点．同理，当y=0时，x=±a，即A1(-a，0) ，A2(a，0)是椭圆C与x轴的两个交点．
因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点．这四个交点叫作椭圆的顶点．
椭圆x2a2+y2b2=1的四个顶点分别为：A1(-a,0) ，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)．
线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，
且|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．
a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．
问题2：观察图象，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，这是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量来刻画椭圆的扁平程度吗？这个量对椭圆的形状有何影响？
答案：我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即ca=e．
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=ca=e,显然0
b>0 和图象可以获得椭圆的哪些几何性质呢？并与椭圆焦点在x轴时进行比较．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
范围
-a⩽x⩽a且-b⩽y⩽b
-a⩽y⩽a且-b⩽x⩽b
顶点
A1(-a,0) ，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)
A1(0,-a) ，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b
焦点
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点
离心率
0b>0 和图象获得椭圆的简单几何性质，并与椭圆焦点在x轴时进行列表比较：
注意：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c．
(4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点．
(5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大．
三、应用举例
例1求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解 将已知方程化为椭圆的标准方程
x225+y29=1
则a=5，b=3，c=a2-b2=4．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是
2a=10，2b=6，
离心率是
e=ca=45．
两个焦点分别是
F1(-4，0)，F2(4，0)．
椭圆的四个顶点分别是
A1(-5，0) ，A2(5，0)，B1(0，-3)，B2(0，3)．
将方程变形为y=±3525-x2，由y=3525-x2，在0⩽x⩽5的范围内计算出一些点的坐标(x，y)，如下表(y的值精确到0.1)．
x
0
1
2
3
4
5
y
3.0
2.9
2.7
2.4
1.8
0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图)．
例2 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>1)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解 由已知得x21m2+y214m2=1(m>1)，
因为014m2．
所以椭圆的焦点在x轴上，并且半长轴长a=1m，
半短轴长b=12m，半焦距c=32m，
所以椭圆的长轴长2a=2m，短轴长2b=1m．
焦点坐标为(-32m，0)，(32m，0)
顶点坐标为(1m，0)，(-1m，0)，(0，-12m)，(0，12m)，
离心率e=ca=32m1m=32．
总结：用方程研究椭圆几何性质的步骤：
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论) ．
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
例3 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如下图所示．假设航天员到地球表面的最近距离为d1,最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上,上面发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为 ．
解 设航天员到地球表面最近距离时在点P,最远距离时在点P1,
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，半焦距为c，
两焦点分别为F1，F2,飞行中的航天员为点P,
由已知可得d1+R=a-cd2+R=a+c
则2a=d1+d2+2R
故传送神秘信号的最短距离为|PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2．
四、课堂练习
1．请说明椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0中a，b的几何意义，并画图进行相应标记．
2．根据下列条件，求椭圆的离心率：
(1)长轴与短轴之比为3∶2；
(2)以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．
3．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：(1)x2+4y2=4;(2)9x2+4y2=36．
参考答案：1．a为长半轴长，b为短半轴长，c为半焦距长，e为离心率，它们在图中的标记如图所示．
2．（1）由题意不妨设a=3，b=2，则c=a2-b2=5，e=ca=53；
（2）由题意得b=3c， a2=b2+c2=43c2，a=23c， e=ca=32．
3．（1）由题意得标准方程x24+y2=1，可得长轴2a=4，短轴2b=2，焦距2c=23，离心率e=32，焦点-3，0，3，0，顶点-2，0，2，0，0，-1，0，1．
（2）由题意得标准方程x24+y29=1，可得长轴2a=6，短轴2b=4，焦距2c=25，离心率e=52，焦点0，-5，0，5，顶点-2，0，2，0，0，-3，0，3．
五、课堂小结
椭圆的简单几何性质：
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
范围
-a⩽x⩽a且-b⩽y⩽b
-a⩽y⩽a且-b⩽x⩽b
顶点
A1(-a,0) ，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)
A1(0,-a) ，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b
焦点
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点
离心率
0
展开阅读全文
温馨提示：
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
相关搜索