资源描述
2023年高考桂林、崇左市联合调研考试
数学（文科）试卷
注意事项：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上.
3. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在区间内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正项等比数列满足为与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D. 2
7. 圆C：上一点P到直线l：的最大距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一条对称轴为
B. 的一个对称中心为
C. 在上的值域为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
9. 是定义在上的函数，为奇函数，则（ ）
A. －1 B. C. D. 1
10. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么此杯热水水温从降至大约还需要（参考数据：，）（ ）
A. 10分钟 B. 9分钟 C. 8分钟 D. 7分钟
11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
12. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若，则______.
14. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1.1
1.6
2
2.5
m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为，则m的值为______.
15. 记为等差数列的前n项和.若，，则______.
16. 已知棱长为8的正方体中，点E为棱BC上一点，满足，以点E为球心，为半径的球面与对角面的交线长为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题12分）4月23日是“世界读书日”.读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界.为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动.活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样，得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下：
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”；若得分低于70分的学生称为“非阅读爱好者”.根据所给数据
①完成下列2×2列联表
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
②请根据所学知识判断是否有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关；
（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”.现从这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在内的概率.
附：，其中.
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18.（本小题12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若点D在边AC上，且，，求.
19.（本小题12分）在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.
（1）证明：；
（2）若，求点M到平面PAB的距离.
20.（本小题12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若关于x的方程有两个不同的实根，求实数a的取值范围.
21.（本小题12分）已知椭圆E：的离心率为，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设点F为E的右焦点，，直线l交E于P，Q（均不与点A重合）两点，直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，求的周长.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题10分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求.
23.【选修4-5：不等式选讲】（本小题10分）
已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对，，不等式恒成立，求a的取值范围.
2023年高考桂林、崇左市联合调研考试
文科数学参考答案
1-5：CBBDA 6-10：BDCAA 11-12：DA
13. －2 14. 2.8 15. 144 16.
17. 解：（1）由题中表格可得2×2列联表如下：
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
45
10
55
女生
30
15
45
总计
75
25
100
由题意得：；
所以没有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关.
（2）根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取，内抽取3人：设为a，b，c，内抽取2人：设为A，B，则基本事件：abc，abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB，共10种；
至少有1人得分在内的事件：abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB，共9种；
所以这三人中至少有1人得分在内的概率为.
18. 解：（1）据已知及正弦定理得，
整理得，
又据余弦定理，
得.
（2）因为，所以，
故，
所以，
整理得，
故，
解得.
19.（1）证明：连接AO.
∵O为BC中点，为等边三角形，
∴.
∵点P在底面ABC上的投影为点O，
∴面ABC.
∴.
由，，，面APO，面APO，
得面APO.
∵面APO，
∴.
（2）设点M到平面PAB的距离为h，点O到面PAB的距离为d，
∵，∴，
∵BO为PB在底面ABC上的投影，
∴为PB与面ABC所成角，
∴，
∴，
，，
∵，
∴B到PA的距离为，
∴，
又，
由，
∴，
∴，
∴，
∴点M到平面PAB的距离为.
20.（1）解：由题知：，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴.
（2）设，
，
当时，，
函数在上单调递增，不合题意.
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以x趋近0时，t趋近；x趋近时，t趋近，
当时，，
方程有两个不同的实根，
所以，
设，易知函数在上单调递增，
又∵，
∴，
综上所述，a的取值范围是.
21.（1）解：依题意可得，
解得，，
所以椭圆E的方程为.
（2）设直线l：，，，
由得，
，
，
又，，
故
，
由，得，得，
故或，
①当时，直线l：，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线l：，过定点，即直线l过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为.
22. 解：（1）由得.
∴，
∴，
∴，
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）设直线l的参数方程为（m为参数），
将l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得：，
∴，，
∴.
23. 解：（1）化简得：.
当时，，
当时等号成立，所以的最小值为2；
（2）由基本不等式：，
当且仅当，即时，等号成立.
又因为，
当且仅当时，等号成立.
所以，，
∴或，
∴或.
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