2022-2023学年安徽省芜湖市市区九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年安徽省芜湖市市区九年级（上）期中数学试卷 1. 一元二次方程x2=−2x的解是(    ) A. x1=x2=0 B. x1=x2=2 C. x1=0，x2=2 D. x1=0，x2=−2 2. 用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为(    ) A. (x+1)2=6 B. (x+2)2=9 C. (x−1)2=6 D. (x−2)2=9 3. 一元二次方程x2+2x+2=0根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 4. 在同一平面直角坐标系中作出y=2x2，y=−2x2，y=12x2的图象，它们的共同点是(    ) A. 关于y轴对称，抛物线的开口向上 B. 关于y轴对称，抛物线的开口向下 C. 关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D. 当x>0时，y随x的增大而减小 5. 若抛物线y=(a−1)x2+1，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是(    ) A. a>1 B. a>0 C. a≥1 D. a<1 6. 下列一元二次方程两实数根和为−4的是(    ) A. x2+2x−4=0 B. x2−4x+4=0 C. x2+4x+10=0 D. x2+4x−5=0 7. 受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从某月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程(    ) A. 300(1+x)2=260 B. 300(1−x2)=260 C. 300(1−2x)=260 D. 300(1−x)2=260 8. 若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为4，对称轴为x=2，则(    ) A. b=−4，c=0 B. b=4，c=0 C. b=2，c=−3 D. b=−2，c=−3 9. 汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)的关系大致如下：S甲=1100x2+110x，S乙=1200x2+120x.由此可以推测(    ) A. 甲车超速 B. 乙车超速 C. 两车都超速 D. 两车都未超速 10. 在长方形ABCD中，AB=4，BC=3，CE=2BE，EF=2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为(    ) A. 25 B. 34−2 C. 4 D. 34+1 11. 关于x的方程(m−2)x|m|+mx−2022=0是一元二次方程，则m值为______． 12. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数______． 13. 教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−225(x−4)2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是______m. 14. 已知二次函数y=2x2−mx+n的顶点坐标为(1,−3)，则 (1)m+n的值为______； (2)当0≤x≤a时，若y的最小值与最大值之和为12，则a的值为______． 15. 解方程：x2+4x−21=0． 16. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，已知点C的坐标为(1,1)． (1)画出以C为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C； (2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； (3)设D为x轴上一个动点，且四边形A2C2DB2为平行四边形，则点D坐标为______.(直接写出答案) 17. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长32米、宽20米的长方形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，小道以外的区域用于种植有关植物，要使种植总面积为570平方米，则小道的宽为多少米？ 18. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，点C的对应点C′恰好落在CB的延长线上，边AB与C′D′相交于点E.求证：BC=BC′． 19. 已知关于x的方程x2−(m−3)x+m−4=0． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围． 20. 先将二次函数L1：y=−2x2的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象L2与x轴相交于点A和点B． (1)求线段AB的长； (2)设直线y=m与L2的图象交于Q点，当△ABQ的面积为18时，试确定Q点的坐标． 21. 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表： 销售单价x(元) 12 14 16 每周的销售量y(本) 500 400 300 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？ 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D在边BC上(不与点B，C重合)，连接AD，以点A为旋转中心，将线段AD逆时针旋转180°−α得到线段AE，连接BE． (1)填空：∠BAC+∠DAE=______°；(直接写出答案) (2)取CD中点F，连接AF，试用等式表示线段AF与BE之间数量关系，并证明． 23. 如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A(−2,−1)，B(0,7)两点． (1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当x为何值时，y>0？ (3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：∵x2=−2x， ∴x2+2x=0， ∴x(x+2)=0， ∴x=0或x+2=0， 解得x1=0，x2=−2， 故选：D． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 2.【答案】C  【解析】解：x2−2x−5=0， x2−2x=5， x2−2x+1=5+1， (x−1)2=6， 故选：C． 利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：在方程x2+2x+2=0中， ∵△=22−4×1×2=−4<0， ∴方程x2+2x+2=0没有实数根． 故选：A． 根据方程的根的判别式△=−4<0，即可得出该方程没有实数根． 本题考查了根的判别式，解题的关键是找出△=−4<0.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 4.【答案】C  【解析】解：∵在函数y=2x2，y=−2x2，y=12x2中，a取值范围分别为：a>0，a<0，a>0， ∴抛物线的开口方向分别为：向上，向下，向上， 由函数y=2x2，y=−2x2，y=12x2的解析式可知， 顶点坐标都为(0,0)， ∴它们的共同点是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点． 故选：C． 根据解析式中的a值判断抛物线的开口方向，再由解析式求出顶点坐标和对称轴． 本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2的图象关于y轴对称，顶点为原点是解题关键． 5.【答案】A  【解析】解：∵抛物线y=(a−1)x2+1，当x≥0时，y随x增大而增大， ∴a−1>0， ∴a>1， 故选：A． 由二次函数的性质得a−1>0，即可求解． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：A、x2+2x−4=0， ∵a=1，b=2，c=−4， ∴b2−4ac=4+16=20>0， 设方程的两个根为x1，x2， ∴x1+x2=−21=−2，本选项不合题意； B、x2−4x+4=0， ∵a=1，b=−4，c=4， ∴b2−4ac=16−16=0， 设方程的两个根为x1，x2， ∴x1+x2=−−41=4，本选项不合题意； C、x2+4x+10=0， ∵a=1，b=4，c=10， ∴b2−4ac=16−40=−24<0， 即原方程无解，本选项不合题意； D、x2+4x−5=0， ∵a=1，b=4，c=−5， ∴b2−4ac=16+20=36>0， 设方程的两个根为x1，x2， ∴x1+x2=−41=−4，本选项符合题意， 故选：D． 找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2−4ac的值，当b2−4ac大于等于0时，设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2=−ba求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项． 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2−4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1x2=ca． 7.【答案】D  【解析】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据该企业某月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：依题意，得：300(1−x)2=260． 故选：D．   8.【答案】A  【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2， ∴x=−b2=2， ∴b=−4， 设抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点的横坐标为x1，x2， ∴方程x2+bx+c=0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2=−b，x1⋅x2=c， ∵抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为4， ∴|x1−x2|=4， 即(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2， ∴42−4c=42， ∴c=0， 故选：A． 先根据二次函数的对称轴为直线x=2求出b的值，再根据根与系数的关系以及若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为4求出c的值． 本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 9.【答案】B  【解析】解∵甲车的刹车距离为12m， ∴1100x2+110x=12， 即x2+10x−1200=0， 解得：x1=30   x2=−40(不合题意舍去)， 所以甲车的速度为30km/h，不超过限速， 而乙车的刹车距离为10m， 则有1200x2+120x=10， 即x2+10x−2000=0， 解得：x1=40，x2=−50(不合题意舍去)， 所以乙车的速度为40km/h，超过了限速35km/h的规定． 故选：B． 根据题意分别求出甲、乙的车速进而得出相撞的原因． 此题主要考查了二次函数的应用，利用一元二次方程正确求出两车的行驶速度是解题关键． 10.【答案】