2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列事件中，属于不可能事件的是(    ) A. x是实数，则x2≥0 B. 人在月球上所受的重力比在地球上小 C. 任意选择某电视频道，正在播放动画片 D. 一个三角形三个内角的和小于180° 2. 若ba=37，则b+aa−b的值等于(    ) A. 12 B. 52 C. 53 D. 54 3. 将抛物线y=12x2−6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为(    ) A. y=12(x−8)2+5 B. y=12(x−4)2+5 C. y=12(x−8)2+3 D. y=12(x−4)2+3 4. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(    ) A. −15 C. x<−1且x>5 D. x<−1或x>5 5. 如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC=20°，则∠ACD的度数为(    ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 45° 6. 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(    ) A. 2a B. 52a C. 3a D. 72a 7. 如图是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径AB=(    ) A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 8. 小明给出如下题目：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如留所示，点A坐标为(−1,0)，给出下列结论： ①b2−4ac>0； ②b+2a<0； ③当x>3时，y<0； ④3a+b>0； ⑤a：b：c=−1：2：3． 其中正确的有(    ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为(    ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 10. 如图，“心”形是由抛物线y=−x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB=(    ) A. 63 B. 8 C. 10 D. 103 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 如果一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是          ． 12. 在−2，−1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y=(x−m)2+n的顶点在坐标轴上的概率为______． 13. 如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足AD：CD=______． 14. 如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上，点D在AC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GF长为______cm． 15. 如图，⊙O中，弦AC=15，沿AC折叠劣弧AC交直径AB于D，DB=12，则直径AB=______． 16. 如图，线段BC的长为8，以B为圆心，4为半径作OB，点A是OB上一动点，连接AC，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，连接DB，则DB的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题8.0分) 在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同． (1)若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； (2)若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率(要求画树状图或列表) 18. (本小题8.0分) 如图，已知AD//BE//CF.它们依次交直线l1，l2，于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果AB=6，BC=8，DF=7，求EF的长． (2)如果AB：AC=2：5，EF=9，线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值． 19. (本小题8.0分) 已知二次函数图象的顶点是(−1,2)，且过点(0,32). (1)求二次函数的表达式． (2)求当−20． 20. (本小题8.0分) 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．(保留作图痕迹) (1)在图①中的圆上找一点D(不与点B重合)，使∠ADC=Rt∠； (2)在图②中的圆上找一点E，使OE平分弧AB； (3)在图③中的圆上找一点F，使AF平分∠BAC． 21. (本小题10.0分) 如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF． (1)求证：△BFG≌△CDG； (2)若AD=10，EF=15，求BE的长． 22. (本小题12.0分) 某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据． x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)若该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润； (3)因疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值． 23. (本小题12.0分) 如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点(不与点A、D重合)，把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②将△EDG沿EG所在直线折叠，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点． (1)求证：△ABE∽△DEG． (2)若AB=6，BC=10， ①点E在移动的过程中，求DG的最大值； ②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求△DGH的面积． 24. (本小题14.0分) 定义：△ABC中，∠A+12∠B=90°，则称△ABC为半余三角形，∠B叫做半余角． (1)如图1，⊙O中，BC是直径，求证：△AOC为半余三角形． (2)下列说法正确的是： ①半余三角形一定是钝角三角形； ②直角三角形不可能是半余三角形； ③任何直角三角形都能分割成两个半余三角形． (3)如图2，⊙O中，BC是直径，AB=6，AC=8，点D是线段AC上一点(不与点A、点C重合)，若△AOD为半余三角形，求OD的长． (4)如图3，点E是直径BC上一点，△ABE为半余三角形，且∠BAE为半余角，过点E作EF⊥BC交AC于点F，若△ABC的面积为△AEP面积的7.5倍，求AEBC的值． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、x是实数，则x2≥0，属于必然事件，故A不符合题意； B、人在月球上所受的重力比在地球上小，属于不可能事件，故B不符合题意； C、任意选择某电视频道，正在播放动画片，属于随机事件，故C不符合题意； D、一个三角形三个内角的和小于180°，不可能事件，故D符合题意； 故选：D． 直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案． 本题考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 2.【答案】B  【解析】解：∵ba=37， ∴a=73b， ∴b+aa−b=b+73b73b−b=103b43b=52． 故选：B． 根据ba=37，得出a=73b，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案． 此题考查了比例的性质，根据已知条件得出a=73b是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：y=12x2−6x+21 =12(x2−12x)+21 =12[(x−6)2−36]+21 =12(x−6)2+3， 故y=12(x−6)2+3，向左平移2个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y=12(x−4)2+3． 故选：D． 直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键． 4.【答案】D  【解析】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为(5,0)， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)． 利用图象可知： ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集， ∴x<−1或x>5． 故选：D． 利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集． 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型． 5.【答案】C  【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠D=180°−∠B=120°， ∵∠DAC=20°， ∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°， 故选：C． 根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°−∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理的应用，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】 【解答】 解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴S△ACDS△BCA=(ACBC)2，即aS△BCA=(24)2=14， 解得△BCA的面积为4a， ∴△ABD的面积为：S△ABD=S△ABC−S△ACD=4a−a=3a． 故选：C． 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．   7.【答案】C  【解析】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N， ∵CD//AB， ∴△CDO∽ABO′，即相似比为CDAB， ∴CDAB=OMO′N， ∵OM=15−7=8cm，O′N=11−7=4cm， ∴6AB=84 ∴AB=3cm， 故选：C． 高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 8.【答案】B  【解析】解：∵抛物线对称轴是直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)， 即抛物线抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ=b2−4ac>0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，即−b2a=1， ∴b+2a=0，故②错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，开口向下， ∴当x>3时，y<