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浙教版数学八年级下册课时练习
5.1《矩形》
一 、选择题
1.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠1=∠2
2.对角线相等且互相平分的四边形是( )
A.一般四边形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形
3.如图,已知▱ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH的形状是( ).
A.平行四边形 B.矩形 C.任意四边形 D.不能判断其形状
4.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
5.如图,一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上,如果∠1=25°,那么∠2的度数是( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
6.如图,矩形的两条对角线的一个交角为60°,两条对角线的长度的和为20cm,则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
7.如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,EF⊥AD交AD于点F,若EF=3,AE=5,则AD等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是( )
A.3 B.6 C.4 D.5
9.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为 ( )
A. B. C.2 D.4
10.如图,D为△ABC内部一点,E、F两点分别在AB、BC上,且四边形DEBF为矩形,直线CD交AB于G点.若CF=6,BF=9,AG=8,则△ADC的面积为( )
A.16 B.24 C.36 D.54
二 、填空题
11.如图所示,已知▱ABCD,下列条件:①AC=BD,②AB=AD,③∠1=∠2,④AB⊥BC中,能说明▱ABCD是矩形的有(填写序号) .
12.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.
当∠ACB为__________度时,四边形ABFE为矩形.
13.长方形ABCD面积为12,周长为14,则对角线AC的长为 .
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF= .
15.如图,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2;(填“>”或“<”或“=”)
16.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且S△PAB=S△PCD,则PC+PD的最小值为 .
三 、解答题
17.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?
18.如图,已知在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD.
19.如图,将▱ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.
(1)求证:△BEF≌△CDF;
(2)连接BD、CE,若∠BFD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
20.如图,已知▱ABCD中,BE,CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线,BE,CF相交于点O.
(1)求证:BE⊥CF;
(2)试判断AF与DE有何数量关系,并说明理由;
(3)当△BOC为等腰直角三角形时,四边形ABCD是何特殊四边形?(直接写出答案)
21.如图,在△ABC中,AC=9,AB=12,BC=15,P为BC边上一动点,PG⊥AC于点G,PH⊥AB于点H.
(1)求证:四边形AGPH是矩形;
(2)在点P的运动过程中,GH的长度是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.
参考答案
1.C.
2.C.
3.B
4.B.
5.C.
6.D
7.C
8.B
9.C.
10.B.
11.答案为:①④.
12.答案为:60.
13.答案为:5.
14.答案为:.
15.答案为:S1=S2.
16.答案为:2.
17.证明:(1)∵AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:∵∠ADC=90°,∠ADF:∠FDC=3:2,
∴∠FDC=36°,
∵DF⊥AC,
∴∠DCO=90°﹣36°=54°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=OD,
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°.
18.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠BAD=90°,AB=CD,
∴∠BEF+∠BFE=90°.
∵EF⊥ED,
∴∠BEF+∠CED=90°.
∴∠BFE=∠CED.
∴∠BEF=∠EDC.
在△EBF与△DCE中,
∠BFE=∠CEDEF=ED∠BEF=∠EDC,
∴△EBF≌△DCE..
∴BE=DC=AB,
∴∠BAE=45°,可得AE平分∠BAD.
19.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=CD,AB∥CD.
∵BE=AB,
∴BE=CD.
∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF,
在△BEF与△CDF中,
∵∠BEF=∠CDF,BE=CD,∠EBF=∠DCF,
∴△BEF≌△CDF(ASA);
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠A=∠DCB,
∵AB=BE,
∴CD=EB,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BF=CF,EF=DF,
∵∠BFD=2∠A,
∴∠BFD=2∠DCF,
∴∠DCF=∠FDC,
∴DF=CF,
∴DE=BC,
∴四边形BECD是矩形.
20.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵BE,CF分别是∠ABC,∠BCD的平分线
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°
故BE⊥CF
(2)解:AF=DE理由如下:
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE
同理CD=DF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴AE=DF
∴AF=DE
(3)当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形.
21.证明:(1)∵AC=9 AB=12 BC=15,
∴AC2=81,AB2=144,BC2=225,
∴AC2+AB2=BC2,
∴∠A=90°.
∵PG⊥AC,PH⊥AB,
∴∠AGP=∠AHP=90°,
∴四边形AGPH是矩形;
(2)存在.理由如下:连结AP.
∵四边形AGPH是矩形,
∴GH=AP.
∵当AP⊥BC时AP最短.
∴9×12=15•AP.
∴AP=.
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