2022-2023学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. 3x2−1=2 B. ax2+5x+7=0 C. 2x4+3x2−5=0 D. x2+5x=0 2. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的(    ) A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 3. 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：1，则下列结论错误的是(    ) A. AB是A′B′的3倍 B. ∠A是∠A′的3倍 C. 周长之比为3：1 D. 面积之比为9：1 4. 已知关于x的方程x2+kx−3=0有一个根为x=1，则实数k的值为(    ) A. 1 B. −1 C. 2 D. −2 5. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是(    ) A. 300(1+x)=507 B. 300(1+x)2=507 C. 300(1+x)+300(1+x)2=507 D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=507 6. 下列每张方格纸上都有一个三角形，仅用圆规就能作出三角形外接圆的是(    ) A. B. C. D. 7. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD//AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(    ) A. 15° B. 35° C. 25° D. 45° 8. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为(    ) A. 4 B. 214 C. 5 D. 254 9. 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：①△AEF∽△DCE；②CE平分∠DCF；③CE是CD与CF的比例中项；④直线AD是△CEF外接圆的切线．其中正确的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，等边△ABC边长为3，O是AB中点，点P沿A→C→B的路径运动，连接OP，H、E分别是OP、AC上的点，F、G在AB上，若点P运动的某段路程中正方形EFGH始终存在，则满足条件的点P运动的路径长度为(    ) A. 63−6 B. 33 C. 4.5 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 请写出一个一元二次方程，使得它的一个根为0，另一个根不为0：______． 12. 在比例尺为1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为______km． 13. 若a2+4a=5，则代数式2a(a+2)−(a+1)(a−1)的值为______． 14. 若圆O的半径是5，圆心的坐标是(0,0)，点P的坐标是(−4,3)，则点P与⊙O的位置关系是______． 15. 如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，BC经过圆心．若∠C=40°，则∠B=______． 16. 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0,3)，则圆的直径长度是______． 17. 如图，平面直角坐标系中，以第一个矩形ODAE的边AE为边向上作正方形①，以DF为边向右作正方形②，得到第二个矩形OGBH，以此类推，得到第3个矩形、第4个矩形…若这些矩形右上角的顶点A、B、C…，与原点O在同一直线上，则这条直线的函数解析式为______． 18. 在正方形ABCD中，AB=2，E是直线CD上的动点，连接AE、BE，F是AE上一点，连接BF，使∠AFB=∠ABE，则AF⋅AE的值为______，在E运动的过程中BF的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. (本小题8.0分) 选择合适的方法解方程： (1)x2−5x+4=0； (2)(x+1)2−4=0． 20. (本小题8.0分) 根据要求的方法解方程： (1)2x2−3x+1=0(公式法)； (2)x2+4x−1=0(配方法) 21. (本小题10.0分) 如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠CDE=∠DAE． (1)求证：△ADE∽△DEC； (2)若AD=6，DE=4，求BE的长． 22. (本小题10.0分) 在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级(1)班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中(A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类)，选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题： (1)九年级(1)班的学生总数为______； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，A的扇形圆心角度数为______°，m的值为______； (4)如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为______． 23. (本小题10.0分) 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 24. (本小题10.0分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF=EF． (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，AC=4，AE=8，求BF的长． 25. (本小题10.0分) 在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上(OA>OB)，C(a,−a)(a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作⊙C，使点A、B在⊙C上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C.(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若OA=8，OB=6，直线y=x+b与⊙C有且只有一个公共点，则b=______． 26. (本小题10.0分) 已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为AB上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，连结AE． (1)如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数； (2)当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长； (3)连结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否不变？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 27. (本小题10.0分) 如图，Rt△ABC，∠ABC=3∠C=90°，将△ABC绕B点逆时针旋转为△BDE，BE交AC于F，过A作AG⊥AC交BD于G，连接GF，AF=m，AG=n． (1)当DE经过点A时，求△AGF与△ABC的面积比值； (2)当△ABC是△AGF面积的6倍，求m：n的值． 28. (本小题10.0分) 我们知道，平面直角坐标系中，若M(x1,y1)、N(x2,y2)，则MN的长度可表示为(x1−x2)2+(y1−y2)2.若点B与点A(2,2)关于原点对称，P(x,y)为第一象限内动点，且PA+4=PB． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若△PAB的面积为2，求P点坐标； 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、3x2−1=2是一元二次方程，故此选项符合题意； B、ax2+5x+7=0未指明a≠0，不一定是一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有一个未知数，未知数x的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 利用一元二次方程定义进行解答即可． 此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2.【答案】D  【解析】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618， 又黄金分割比为−1+52≈0.618， ∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的黄金分割， 故选：D． 利用黄金分割比的意义解答即可． 本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：1， ∴AB：A′B′=3：1，∠A=∠A′，A正确，不符合题意；B错误，符合题意； ∴周长之比为3：1，面积之比为9：1， ∴C、D均正确，不符合题意． 故选：B． 根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解． 本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形的对应角相等，比较简单，熟记性质是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：把x=1代入关于x的方程x2+kx−3=0中得： 1+k−3=0， 解得k=2． 故选：C． 根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入原方程得到关于k的一元一次方程，然后解此方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 5.【答案】B  【解析】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的计划利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设这两年的年利润平均增长率为x， 根据题意得：300(1+x)2=507． 故选：B．   6.【答案】C  【解析】解：A、∵仅用圆规不能确定圆心， ∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意； B、∵仅用圆规不能确定圆心， ∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意； C、如图，由勾股定理得：AC2+BC2=42+22+22+12=25，AB2=32+42=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴AB是△ABC的外接圆的直径， 由三角形中位线定理可知，点O是AB的中点， ∴仅用圆规就能作出三角形外接圆，本选项符合题意； D、∵仅用圆规不能确定圆心， ∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意； 故选：C． 对于B选项，根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据圆周角定理判断即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：∵AB=AC，∠BCA=65°， ∴∠ABC=∠BCA=65°， ∴∠BAC=18