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浙东北联盟(ZDB)2022-2023学年第一学期期中考试
高二数学试卷
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题意的.
1. 某校举行演讲比赛,邀请7位评委分别给选手打分,得到7个原始评分.在评定选手成绩时,从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到5个有效评分.这5个有效评分与7个原始评分相比,数字特征保持不变的是( )
A. 众数 B. 标准差 C. 平均数 D. 中位数
2. 已知,,三点共线,则实数( )
A. 10 B. 4 C. -4 D. -10
3. 若点不在圆的外部,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4. 某旅行社统计了三条路线的旅游人数,具体分布如下表(每人参加且仅参加一条路线):
南北湖景区
东湖景区
西塘古镇景区
男性
30
60
女性
50
40
60
现要对这三条路线的选择情况进行抽样调查,从参加这三条路线的人中采用按小组分层随机抽样的方法抽取60人,从参加南北湖景区路线的人中抽出16人,则( )
A. 30 B. 60 C. 80 D. 100
5. 已知椭圆:的左、右焦点分别为,.若斜率为1,且过点的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
6. 已知直线:,:,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知点,,若直线:上存在点,使得,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点,,其中为右焦点,两曲线在第一象限的交点为,离心率分别为,.若线段的中垂线经过点,则( )
A. B. 2 C. D. 3
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 有一组样本数据,,…,,由这组数据得到新的样本数据,,…,,则( )
A. 新样本数据的极差是原样本数据极差的2倍
B. 新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍
C. 新样本数据的中位数是原样本数据中位数的2倍
D. 新样本数据的平均数是原样本数据平均数的2倍
10. 已知曲线:,则( )
A. 若,则曲线为圆
B. 若,则曲线为双曲线
C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆,则其离心率
D. 若曲线为焦点在轴上的双曲线,则其渐近线方程为
11. 已知圆:与圆:相交于,两点,则( )
A. 的面积为
B. 直线的方程为
C. 在经过,两点的所有圆中,的面积最小
D. 若是圆和圆边界及内部的一点,则
12. 1675年,天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现:在同一平面内,到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中,设定点,,其中,动点满足(且为常数),化简可得曲线:,则( )
A. 原点在曲线的内部
B. 曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形
C. 若,则的最大值为
D. 若,则存在点,使得
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知抛物线的顶点为原点,准线为,则抛物线的方程为_________.
14. 在某次数学测验中,6位学生的成绩分别为:78,85,,82,75,80,他们的平均成绩为81,则他们成绩的75%分位数为_________.
15. 已知直线:,:,若,则实数_________.
16. 直线与曲线恰有两个交点,则实数的取值范围为_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)求满足下列条件的直线方程.
(1)直线的倾斜角为,且经过点;
(2)直线过点,且在两坐标轴上的截距相等.
18.(本题满分12分)城市道路由于通勤、施工等因素,容易出现早晚高峰.一般地,工作日早高峰时段通常在7:00-9:00,晚高峰时段通常在17:00-19:00.为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度,通常采用的指标之一是路段的汽车平均行驶速度,即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度.路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路,根据不同路段与汽车平均行驶速度,可将拥堵程度分为1到5级.等级划分如表(单位:):
路段
等级
5
4
3
2
1
快速路
主干路
次干路
支路
某大桥是连接两地的快速路.今在某高峰时段监测大桥的汽车平均行驶速度,得到如下频率分布直方图.
(1)求车速在内的频率;
(2)根据统计学知识,估计该时段大桥拥堵程度的等级.
19.(本题满分12分)平面直角坐标系中,,,动点满足.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点作轴上的垂线,为垂足.若_________,当点运动时,求点的轨迹方程.
在①,②这两个条件中任选一个,补充到横线中,并求解问题.
(若选择多个条件作答,则按照第一个解答计分)
20.(本题满分12分)已知圆经过点和,圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)若,分别是圆和圆:上的点,点是直线上的点,求的最小值,以及此时点的坐标.
21.(本题满分12分)已知双曲线:经过点,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线相交于,两点,是弦的中点,求的长度.
22.(本题满分12分)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线(异于轴)交椭圆于,两点,直线与交于点,直线与交于点.记直线和的斜率分别为,,求证:为定值.
2022学年第一学期浙东北联盟期中联考
高二年级数学学科答案
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题意的.
1-5:DABBC 6-8:CCB
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. ACD 10. BD 11. BC 12. BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 14. 85 15. -3或0 16.
(第13题若只答出一个正确答案,得3分)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
解答(1); 5分
(2)或. 10分
(第(2)题若只答出一个正确答案,得3分)
18.(本题满分12分)
解答(1),解得,
频率为0.05. 6分
(2), 10分
该时段大桥拥堵程度为2级. 12分
(第(2)题若答出拥堵程度为2级,但没有求出的或求错的,得2分)
19.(本题满分12分)
解答(1)设点,,则. 5分
(2)若选择①,设,则,即, 8分
从而,即点的轨迹方程为. 12分
若选择②,设,则,即, 8分
从而,则点的轨迹方程为. 12分
20.(本题满分12分)
解答(1)直线的中垂线为,联立,解得,即圆的圆心为,半径,其方程为. 6分
(2)注意到点和点在直线两侧,直线与两圆分别相离,, 11分
此时. 12分
21.(本题满分12分)
解答(1)若焦点,其到渐近线的距离,2分
,解得, 4分
双曲线的方程为. 5分
(2)设点,,则.
由于,则,,
从而直线的方程为. 8分
联立,,, 10分
从而. 12分
(其它方法酌情给分)
22.(本题满分12分)
(1)由题意知,又,则,,从而. 5分
(2)设直线:,,.
联立,则,. 7分
直线的方程为,
直线的方程为.
联立这两个直线方程,解得,从而,
即.同理,解得. 9分
由于直线的斜率
,则,即证. 12分
(第(2)问仅根据特殊值等方法求出,没有其他过程的,得2分.其它方法酌情给分)
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