人教A版高二数学必修五导学案及答案

1.1.1正弦定理【学习目标）1 .掌握正弦定理的推导过程；2.理解.正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用；3 .能应用正弦定理解斜三角形.【重点难点】正弦定理及其应用；解三角形中知两边一对角型中解的判断。【知识梳理】1 .正弦定理：在任一个.三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即=2 R （R为a A B C外接圆半径）sin A sin B sin C2.正 弦定理的应用|从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.3 .A 4 8 c中，已知a,6及锐角/,则。、b、s in/满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？（见图示）-若A为锐角时：a bsin A 无解a =bs in A 解 值 角）bs in A a b 一解（锐角）已知边a,b和NAaCH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinAa b无解一解（锐角）【范例分析】例1.（1）已知下列三角形的两边及其一边对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。=7,6 =8,力=1 0 5 ；a =1 0/=2 0,/=8 0 ；6 =1 0,c=5,C =6 0 ；a =2 6力=6,/=3 0、(2)在A 4 B C中M=X,6 =2,8 =4 5,若A 4 6 c有两解，则x的取值范围为()A、x 2 B、0 x 2 C、2 x 2A/2 D、V 2 x 2例2.(1)在 4 8 C中，已 知 吧 且=2，求 竺 的 值；s in B 3 b(2)在 IB C中，已知a:b:c=2:4:5 ,求一出公一的值。s in C-s in/例3.(1)在AABC中，已知A B=/,Z C=5 0 ,当NB多大时，B C的长取得最大值.?(2)A A B C的三个角满足A B C,且2 B=A+C,最大边为最小边的2倍.，求三内角之比。例 4.(1)在/8 C 中，a =2 6,c=6,3 =3 0,求 Z 8 C 的面积5。(2)在 N 8 C中，a =4,8 =3 0,C =4 5,求/8 C的外接圆半径R和面积S。【规律总结】1.正弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到正弦定理。正余弦定理的边角互换功能。=2 7?s in Z,b =2R sin B ,c =2 7?s in C.c i .b .c s in A=,s in B =,s in C =2R 2R 2R_ a b c a+b+c .-=-=-L-2Rs in N s in 8 s in C s in/+s in 8 +s in C a:6:c=s in ：s in B:s in C2.结合正弦定理，三角形的面积公式有以下几种形式：S =-a-h =s in C-2 7?2 s in /s in 8s in C,2 2 4R其 中 分 别 表 示 A48c 的8C边上的高、外接圆半径。【基础训练】一、选择题1 .在a A B C 中，a=1 0,B=6 0 ,C=4 5 ,则 c 等于A.1 0 +V 3 B.1 O（V 3-1）C.V 3+12 .在 A48c 中，若 丝 0=竺 自，则8的 值 为（a bA.3 0 B.4 5 C.6 0）D.10A/3）D.9 0 3、已知aABC的面积为3,且b =2,c =拒,则/A等 于()2A.3 0 B.3 0 或 1 5 0 C.6 0 D.6 0 或 1 2 0 4 .Z X A B C 中,/A、N B 的对边分别为 a,b,且N A=6 0 ,a =n=4,那么满足条件的A A B C ()A.有一个解 B.有两个解.C.无解 D.不能确定5 .在 A B C 中，已知a =x,6 =2,8=6 0 ,如果4ABC两组解，则 x 的取值范围是（）4/4 /-A.x 2 B.x 2 C.2 x V 3 D.2 x C A AB,则A.OA OBOA OCOB OC B.OA OBOB OCOC OAC.OB OCOC OAOA OB D.OA OC OC OBOA OB12.如 图1,D是直角A A B C斜边B C上一点,A B=A D,记/C A D=a ,Z A B C=/3.(1)证明 s in a +co s 2/?=0 ;(2)若 A C=Jil)C,求 的值.1.1.2余弦定理主 备 人 刘 玉 龙 使 用 时 间 2 0 1 1-0 9-0 2【学习目标】1 .掌握余弦定理的推导过程；2 .能初步运用正、余弦定理解斜三角形。【重、难点】余弦定理及其应用；难点是余弦定理的应用【知识梳理】1 .余 弦 定 理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积，的两倍.即 =10,cosC是 方 程2x2 3x 2=0的一个根，则ABC周长的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三、解答题：9.在Z8C中，角4 B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3V7.求cos C；5若CB C4=,且。+6=9,求c.21 0 .在中，已知角Q 4 5 ,是比边上一点，4 7=5,4 7=7,DC=3,求 4 2【选做题】Q 11 1 .设 A是aABC 中的最小角，且 c o s/=，则实数。的取值范围是()。+1A.g 3 B.a C.一1 D.。01 2 .4 8 C的三个内角/、B、C 的对边分别是a、b、c,如 果/%(b+c),求证：A=2B.1.1.2 正余弦定理综合应用主 备 人 刘 玉 龙 使 用 时 间 2 0 1 1-0 9-0 3【学习目标】1 .能灵.活运用正余弦定理判断三角形的形状;2 .能结合正余弦定理进行三角形面积的计算。【知识梳理】cosZ=1.余弦定理:b2+c2-2bccosA,a2+c2-2ac cos B,n a+h-2abcosC.2.在 N 3 C中，若JA/+C?,则/8 C为钝角三角形；若。2=/+c，2,则/8 C为直角三角形；若 J /+c 2 且*。2+。2 且 c 2 a 2+/,则 4 8 C为锐角三角形.3 .正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 一=上=一 J =2 R （R为4ABC 外接圆半径）sin A sin B sin C【范例分析】例 1.（1）4 8 C 中，si n2J=si n2S+si n2C,则 4 B C 为（）A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C 等边三角形 D.等腰三角形（2）已知锐角三角形的边长分别为2,3,x,则第三边x 应 适 合（）A、1 x 5 B、f5 x V 1 3 C、V 1 3 x 5 D、1 x c o sC,求证：比为等腰三角形.例 3.已知三角形的一个角为6 0 ,面积为l o j i c m）周长为2 0 c m,求此三角形的各边长.例4.如 图，半 圆。的 直 径MV=2,0A=2,8为半圆上任意一点，以48为一边作正三角形ABC,问8在什么位置时，四 边 形。面积最大？最大面积是多少？【规律总结】1.根 据 所 给 条 件 确 定 三 角 形 的 形 状，主要有两条途径：（I）化边为角；（2）化角为边具体方法：通过正弦定理，通过余弦定理，通过面积公式。2.三角形的面积公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)S=aha=bhh chc(%、八九分别 表 示。、b、c上的高);2 2 2S=absinC=bcsxxiA=acsin；2 2 2$_/sin Bsin C _ b2 sin Csin A _ c2 sin/sin 82sin(B+C)2sin(C+A)2sin(J+B)S=2/?2sinsinsinCc(R为三角形外接圆半径)abcS=-；4Rs=ylp(p-a)(p-b)(p-c)；p=；(a+6+c)：S=r p；(r为三角形内切圆半径)。【基础训练】一、选择题1 .若三条线段的长为5,6,7,则用这三条线段（）A.能组成锐角三角形 B.能组成直角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形2 .已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则 a 的范围是（）A.（8,1 0）B.（V8,V1 0）C.（7 8,1 0）D.（V1 O,8）3 .已知AABC的三边长a =3,b=5,c =6,则AABC的 面 积 为（）A.V1 4 B.2 V1 4 C.V1 5 D.2拒4 .在 A A B C 中,“=1,8 =4 5 ,5 根 吐=2，则 A A B C 的外接圆直径为（）A、4 也 B、5 C、5 7 2 D、6 7 25 ./XAB C 中，a、b、c 分别为乙4、NB、Z C 的对边，如果 2b=a+c.,Z B=3 0,&4B C的面积为3,那么6 等 于（）2A.上 芭 B.1+石 C.21石 D.2+7 32 2二、填空题6 .在a/8 C 中，已知 2。=b+c ,s ir?/=s in 8s in C,则4 A B C 的形状是.7 .在 A48C中，N4N8,NC的对边分别为a/,c,已知=6 0,b =l,三角形的面积为G，求a的值为。8 .在 I B C 中，角/、B、C所对的边分别是“、b、c,若三角形的面积S=L （/+/一。2）,4则/C的度数是.三、解答题9 .根据所给条件，判断A48c的形状。（1）a c os A-hc osB；（2）-=-=-；（3）c os2-=+Cc os A c os B c os C 2 2c1 0.在 A 8 C 中，N C=6 0。，B C=a,AC=b,a+b=1 6.（1）试写出4/8。的面积S与边长a的函数关系式；（2）当。等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值.【选做题】11.如果A44G的三个内角的余弦值分别等于4 1 2 8 2 G 的三个内角的正弦值，则（）A.A4MG和 2 8 2 G 都是锐角三角形B.A44G和 入42 8 2 c 2 都是钝角三角形C.A44G是钝角三角形，A4 2 8 2 G 是锐角三角形D.A4MG是锐角三角形，人4 2 8 2 c 2 是钝角三角形1 2 .Z S A B C 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角。（1）求 最 大 角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.1.2应用举例1主 备 人 刘 玉 龙 使 用 时 间 2 0 1 1-0 9-0 4【学习目标】1 .能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题:2 .分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念。3 .将实际问题转化为解三角形问题【知识梳理】L 仰角、俯角、方位角、视角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角;方位角指从正北方向顺时针转到目标方向的水平角0 观察物体时，从物体两端（上、下或左、右）引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫视角。2 .坡度通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度I 的 比 叫 做 坡 度（或叫做坡比）用 字 母 i 表示。3.解三角形的实际问题的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。范例分析例 1.（1）平地上有甲乙两楼，甲楼高15米.已知从甲楼顶测得乙楼底的俯角为30。，又测得乙楼顶的仰角为15。.则乙楼的高是 米（tan 15。=0.2679,精确到0.01）（2）为了测量上海东方明珠的高度，某人站在4 处测得塔尖的仰角为7 5 5,前 进 38.5m后，到达8 处测得塔尖的仰角为80.0.试 计 算 东 方 明 珠 塔 的 高 度.（精确到例 2.（1）某舰艇在N 处测得遇险渔船在北偏东45。距 离 为 10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105。方向，以每小时9 海里的速度向-小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰 艇 到 达 渔 船 的