第一轮复习风向标导数及其运用

第五章导数及其运用 知识网络 导数 第1讲 导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1. 用定义求函数的导数的步骤. (1) 求函数的改变量Ay； (2)求平均变化率竺.(3)取极限，得导数f' (x°) = lim 生. Ax Ax 2. 导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f (x)在某一点(xo，y°)处的导数是过点(xo，y0)的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s (t),在点P (io, s (t。))处导数的意义是七=姑处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 3. 几种常见函数的导数 c = 0 (c为常数)；(xl,y = nxn'1 (neR)； (sin x) =； (cos x) =； (In xS = -■, (logfl x)' = -logfl e ； X X (er) = ex ； (czr) = ax In a . 解析：cos x;-sin x; 4. 运算法则 ① 求导数的四则运算法则： (W + V)= M ± V ； (wv) =； [«] =(V 0). 如" ■ , uv-uv 解析：UV + UV ; 2—— V ② 复合函数的求导法则：九'(9(工))=f (u)(p (x)或y'x =y'" ★重难点突破★ 1. 重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2. 难点：切线方程的求法及复合函数求导 3. 重难点：借助于计算公式先算平均增长率，再利用函数的性质解决有关的问题. (1) 平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数f(x) = 2*与g(x)=3r,当x c [1,2]时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基本步骤是 ⑴计算自变量的改变量Ar = a -也 (2) 计算对应函数值的改变量Ay = /(.y2 ) - f0) (3) 计算平均增长率：但=/0'(也) Ax x2 -x} 对于f(x) = 2\ 知=生二三=3,又对于g(x) = 3\ 坐=立翌=8 皿 2-1 A*? 2-1 故当x e [1,2]时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率. (2) 求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则， 问题2,已知y = (1 + cos 2x)2,则 矿 . 点拨：复合函数求导数计算不熟练，其2x与X系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视 T,导致错解为：y' = -2sin2x(1 + cos2x). 设 y = u2, m = 1 + cos2x，则 y'x = y'uu'x = 2m(1 + cos2x)' = 2m • (-sin2x) • (2x)， =2u • (-sin 2x) • 2 = -4sin 2x(1 + cos2x) y' = -4sin2x(1 + cos2x). (3) 求切线方程时已知点是否切点至关重要。 问题3.求y = 2x2 + 3在点P(l,5)和2(2,9)处的切线方程。 点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是矿在x = l处的函数值； 点。不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.切忌直接 将P,。看作曲线上的点用导数求解。 y = lx2 +3,.'. y' = 4x.yz| T=1 = 4 即过点P的切线的斜率为4,故切线为：y = 4x + l. 设过点Q的切线的切点为“》0，此)，则切线的斜率为4x°,又你。=也二？， 工0 -2 2工 2_6 故 =4x0,2x02 - 8x0 + 6 = 0.「. Xq = 1,3。 心-2 即切线QT的斜率为4或12,从而过点。的切线为： y = 4x - l.y = 12x-15 ★热点考点题型探析★ 考点1:导数概念 题型1.求函数在某一点的导函数值 ［例1］设函数f(x)在Xo处可导，贝!J lim /<-yo~A-y)-/(-yo)等于 kT。 Ax A. f'(xo) B. -f'(xo) C. f(xo) D. -f(xo) 【解题思路】由定义直接计算 ［解析］1血川。一笏)一川。)=_1血也。+(一叫］一川。)=_f，(x°).故选B axto Ax *to (-Ax) 【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式lim'SM* —"')= f'(x°) kT。 Ax 考点2.求曲线的切线方程 ［例2］(高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数y = /(X)的图象在点夕处的切线 方程是 y = —x + 8,则f(5) + f,(5)=. 【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上. 解析:观察图形，设F(5,f(5)),过P点的切线方程为 . Ty x十 o y-f(5) = f'(5)(x-5)即 y = /'(5)x + y(5)-5广(5) \ 它与v = —x + 8重合,比较系数知:f，(5) = —l,f(5) = 3 Q O| 5 x 故 f(5) + f'(5)=2 【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点.若是，可以直接采用求导数的方法 求；不是则需设出切点坐标. 题型3.求计算连续函数y = f(x)在点x = x°处的瞬时变化率 ［例3］ 一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m,时间单 位：s),求小球在t=5时的加速度. 【解题思路】计算连续函数y = f(x)在点x = x°处的瞬时变化率实际上就是y = /(x)在点 x = x()处的导数. +、士否 ,.s(5 + △.) —s(5) ］. (5 + A?)" — 5" 解析：加速度 i/=lim = hm △一 o At =lim (10+ A t)=io m/s. A«->0 /.加速度 v=2t=2 X 5=10 m/s. 【名师指引】计算连续函数y = f(x)在点x = x0处的瞬时变化率的基本步骤是 1 计算颂 “ ■/(%+&)一1(和) Ax Ax 2, 计算lim — Ax->0 Ax 【新题导练】・ 1. 曲线y =上和y =子在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是. X 解析：曲线y=-和y =子在它们的交点坐标是(1, 1),两条切线方程分别是y=—x+2和y=2x 3 -1,它们与尤轴所围成的三角形的面积是乏. 4 点拨::与切线有关的问题，应有运用导数的意识，求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可. 2. 某质点的运动方程是S=t-(2t-l)\则在t=ls时的瞬时速度为 ( ) A. -1 B. 一3 C. 7 D. 13 解:B点拨:计算lim — = s(l + "s(l)即可 4。At 3. 已知曲线C1：J=X2与C*2：y= —(尤一2)2,直线/与G、。2都相切，求直线/的方程. 解：设Z与G相切于点户(由,由2),与C2相切于Q(x2-(x2-2)2) 对于G： y =2x,则与G相切于点p的切线方程为 y—xi2=2%i(x—工1),艮y=2xix—x\ ① 对于 C2： y' =-2(x—2),与。2 相切于点 Q 的切线方程为 y+fe-2)2=—2(x2—2)(x—x2),BP y= _ 2(^2—2)x+X2 —4 ② ,•*两切线重合，「・2xi=—2(^2—2)且一工在券一4,解得Xi=0,x2=2或Xi=29x2=0 直线/方程为y=0或y=4%—4 点拨:利用解方程组求交点，利用直线间的位置和待定系数法求斜率. 考点2导数的运算 题型1：求导运算 ［例1］求下列函数的导数： (1) y = ex cosx (2) y = x2 + tanx (3) y = ln(x + l) 【解题思路】按运算法则进行 ［解析］(1) •/ y = ex cos x, y = (e*) cos x + ex (cos x) = ex cos x-ex sin x / 、 2 - ( 2\' zsinx . cos2x-sinx(-sinx) (2) •.・ y = i +tani,.・.y = (x I + ( ) =2尤 + ' 7 COSX COS X =2x + ——z— COS X 1 1 (3) y 二 (x + 1)二 x+1 x+1 【名师指引】注意复合函数的求导方法(分解―求导t回代)；注意问题的变通：如y =把7 Y 的导数容易求错，但y =—的导数不易求错. ex 题型2:求导运算后求切线方程 2 例2.(广州市2008届二月月考)已知函数f(x) = —x} - lax2 + 3x(x e R). (1) 若a = l,点P为曲线y = f(x)±的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时 的切线方程； (2) 若函数y = f (x)在(0,+oo)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a. 【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程. 解析：(1)设切线的斜率为 k,则 Z： = f,(x) = 2x2-4x + 3 + 2(x-l)2+l 又f(l) = ：,所以所求切线的方程为：y-| = x-l即3x-3y + 2 = 0. 【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现. 与曲线y=-x2相切于p(e,e)处的切线方程是(D ) e A. y = ex-2 B. y = ex+2 C. y = 2x + e D. y - lx-e 题型3:求导运算后的小应用题 例3.某市在一次降雨过程中，降雨量火mm)与时间以min)的函数关系可近似地表示为 V = = 测在时刻Z = 40min的降雨强度为() A.20mm B. 400mm C, —mm/rmn D, —mm/rmn 2 4 【解题思路】先对1的求导，再代£的数值. 解析：广(，) =— • 10 = ,—, f '(40)=, ——选 D 2V10r 加 V400 4 【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率，即那一时刻的导数值. 【新题导练】. 4.设函数/(x) = x(x + k)(x + 2k)(x-3k),且广(0) = 6,则* = A. 0 B. -1 C. 3 D. -6 思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解. 解： f\x) = (x + k\x + 2k)(x - 3k) + x(x + 2k)(x-3k) + x(x + /:)(%-3k) + x(x + k\x + 2k) 故广(o)= —6尸 又/\0) = 6,故S -1 5. 设函数/(x) = (x-a)(x-/7)(x-c),顷、b、c是两两不等的常数)， a b c 贝 0 1 1 — . E E ff(c) 解析:f'OO = (x - a)(x -/?) + (%- /?)(% - c) + (x - c)(x - a)代入即得 0.. 6. 质量为10炽的物体按5(0 = 3f2+r + 4的规律作直线运动，动能£ = |mv2,则物体在运动4s 后的动能是 解析:先求瞬时速度后，再代入公式求解提3125J ★抢分频道★ 基础巩固训练 1 . 1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)尸⑴ 是= + 2."1的导函数，则 f'(—1)的值是• 解析：f\x-) = x-+ 2 故 f'(—1)=3 TT 2. (广东省2008届六校第二次联考)y = xcos x在x =