2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ含解析

第二章函数的概念与基本初等函数I第 一 节 函 数 及 其 表 示本节主要包括3 个知识点：1.函数的定义域；2.函数的表示方法；3.分段函数.突破点(一)函数的定义域抓牢双基自学区 基本知识1.函数与映射的概念 函数映射两集合A,B设 A,3 是两个非空的数集设 A,5 是两个非空的集合对应关系/：A-3如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数/(X)和它对应如果按某一个确定的对应关系力使对于集合4 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 心 上 生 为 从 集 合 4 到集合B的一个函数称对应f：A f 8 为从集合4 到集合B的一个映射记法y=J(x),x G A对应/：2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y=/a),XGA中，x 叫做自变量，X 的取值范围4 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的1r 值叫做函数值，函数值的集合伏BIxGA 叫做函数的值域.显然，值域是集合5 的子集.(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.基本能力1.判断题(1)函数是特殊的映射.()(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()(3)函数y=l 与 y=x是同一个函数.()答案：(1)V(2)V(3)X2.填空题(1)下列对应关系：人二口四刃，8=-3,-2,-1,1,2,3)/：x-x 的平方根;O 4=R,8=R,ft x-x 的倒数；A=R,5=R,/：XX2 2；A=-1,O,11 B=-1,O,1)/：A 中的数平方.其中是A 到B的映射的是.答案：(2)函数 7=亚=1+加(-2)的定义域为.答案：(2,+)(3)下列/(*)与 g(x)表 示 同 一 函 数 的 是.Ax)=、x 2 _ l与 g(x)=/x1-/x+l;d+xfix)x 与 g(x)=J不 ;y=x 与 y=(yx)2；A*)=d?与 g(x)=4.答案：研透高考讲练区 全析考法求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y=x的定义域是 x|x#0.(5)y=a*(a()且 a#l),j=sin x,y=cos x 的定义域均为 R.(6)y=lo&x(a0 且 a#l)的定义域为(0,+).(7)y=tanx 的定义域为 x|.例 1 (2018长 沙 模 拟)函 数 大*)=后 下+占 的 定 义 域 为()A.x|xlC.x|0 xlB.x|0 xl仅一2*20,解析 要使函数有意义，则必须满足jx0,Uog3xW0,.*.0 xl,选 B.I答案 B 易错提醒(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化.(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”连接.对于抽象函数定义域的求解求抽象函数的定义域若已知函数4 x)的定义域为句，则复合函数如(初的定义域由不等式a 4(x)力求出；(2)若已知函数八g(x)的定义域为 a,b ,则/U)的定义域为g(x)在b 上的值域.例 2 (2018舟山模拟)已知函数_/U)的定义域为(-1,1),则函数8(*)=周 十/U-1)的定义域为()A.(-2,0)C.(0,2)B.(-2,2)解析 由题意得X1T1,-2x2,L .I,0av2,lx11,.,.0 x2,二函数 g(x)=/&+/(x-l)的定义域为(0,2),故选 C.答案 C 易错提醒I函数於(X)的定义域指的是X的取值范围，而不是g(x)的取值范围.例 3 若函数人*)=1 2/+2 卯。一 1的定义域为R,则a的 取 值 范 围 为.解析 因为函数AX)的 定 义 域 为 R,所 以 2+2-。-I。对 x G R 恒成立，即2+2*”.2。，x2+2 0,解得x2或 x 0,1解析：要使函数,小0=工+坨 国+1)有意义，则，解得一QVXV1,所以函y lx 3x+l0,J数/(x)=4-lg(3x+1)的定义域为(；，1)答案：(T 1)5.考点三(2018杭州模拟)若函数人*)=五百嬴币的定义域为一切实数，则实数i n的 取 值 范 围 是.解析：由题意可得机f+w ix+l。恒成立.当/n=0 时，1 2 0 恒成立;心 0,当时，则J _/=-4W0,解得()则1Ax 1)=2%1,xG 2,4.()答案：(1)X(2)V2.填空题(1)已知 r)满足/0-i)=i g x,则/(一三)=.解析：令:一 1=一 看，得 x=10,一看)=lglO=L答案：1若函数/(x)如下表所示：则加0)=.解析：由题意知A l)=2,所以加U)=/(2)=l.答案：1研透高考讲练区 全析考法求函数的解析式 典例(1)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲 从 家 到 公 园 rt4 k.J的距离与乙从家到公园的距离都是2 k m,甲 10时 出 发 前 往 乙 家.如 图3所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的1/门J&、田Az+e4+0 10 20 30 40 50 60,关 系.则函数y=/(x)的解析式为.(2)定义在R上的函数7U)满足大x+l)=犷X).若当0 W x 1).将上式代入/+1=l g x,得八。=l g f,即所*I 1 L A I I2求函数的解析式为IAx)=lgT(xl).答案：1 号 匕(*1)4.已知./U)满足 2HX)+/Q)=3X1,则 )+f C)=3x1,以士代替中的x(xW O),得 2/(?+人*)=?一 13由X2，得切：)=6丫 一 1一 1,于是所求函数的解析式为八x)=2x：一；(xKO).答案：2x1一；(xWO)突破点(三)分段函数抓牢双基自学区 基本知识1.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.2.分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.基本能力1.判断题(1)分段函数是两个或多个函数.()x,x2 0,若大)+汽-1)=2,贝！|a=l.()x,xl,2解析：由 川)=3，可得=g,所以/(3)=0=；.答案：I(3)(2018杭州模拟)已知,Ax)=lx+1,xWO,2使/(x)e-l 成立的-(X-1)2,x0,的取值范围是.卜wo,解析：由题意知0,解得一4这xWO或 OVx这2,故 x 的取值范围是-4,2.答案：-4,2研透高考讲练区 全析考法，点一分段函数求值问题3sin nx,xWO,，2、例1（1）（2018东营模拟）已知函数式x）=1,则公力的值为（）1）+1,x0,7）（2）（2018-张掖高三模拟）已知函数,f x）=忖X%/(x+1),x/(/)+1=加(一 +1=-1.(2)因为 2vk)g253,所以 3g254,则 42+log25i 时，当 x l,得一y5xX,得一3 x2,则 lWx 的 的取值范围是()A；,1 B.0,1谱，+)D.1,+8)2 2解析：选 C 由内)=/得，大”)2 1.当a V l时，有 3 a-l2 l,：.a ,：.a 2L 当时，有 2 0 2 1,二 2。，a e L 综上，。2 歹 故选C.“,(2x+a,x 0 时，1 v l,l+a l.由人1-a)=/U+a)得 22a+=-1。一2，3解得=一不，不合题意；当 时，1由大1)=/(1+)得一1+Q2=23 3+2a+a9解得=一 不所以的值为一不 故 选 B.7(x4),x2,3.考点一(2018湖南长郡中学摸底)已知函数1A*)=,e。-2W xW 2,则 f(2 019)x2,=()A.e1 2 B.e1.(2016全国卷H)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=1()*,的定义域和值域相 同 的 是()A.y=x B.j=lg xC.尸 2、D.尸 方解析：选 D 函数7=10电*的定义域与值域均为(0,+).函数y=x 的定义域与值域均为(-8,+oo).函数y=lg x 的定义域为(0,+),值域为(-8,+8).C.1 D.e解析：选 D 当x 2时，函数周期为4,八2 019)=八-1)=%.fl+log2(2X),X1,4.考点一(2018湖南邵东月考)函数f(x)=.则 八-2)+/Uog212)解析：由于八-2)=l+k)g2(2(-2)=3,川咤212)=2池212T=2 6=6,则八一2)十40&12)=9.答案：9r1*,x 0,+0),15.考点二 已知/(x)=J(冗、若人。)=5，贝!)。=_ _ _ _ _ _ _ _.|sin x,5，OJ,1-I i解析：若 a 2 0,由人。)=5得，。2=3，解得。=疝若 a 1,()解析：选 A 由于a)=-3,若“W 1,则2=-3,整理得2T=-1.由于20,所以 2一 1=一1 无解；若 1,则一Iog2(+D=-3,解得 a+l=8,a=7,所以八6一。)7 7=人-1)=2-1-2=一 综上所述，A6a)=-W.故选 A.，f+z x,x0,3.(2013全国卷I)已知函数0.是()A.(一8,0 B.(一8,1C.-2,1 D.-2,0解析：选 D 当 xWO 时，f(x)=x2+2 x=(x1)2+1 0,所以|/(x)ax 化简为 x?2 x a x,即 j?e(a+2)x,因为xW O,所以a+2 2 x 恒成立，所以a 2 一2;当x 0 时，/(x)=ln(x+l)0,所以化简为In(x+l)ar恒成立，由函数图象可知”W 0,综上，当一2Wa近0 时，不等式欣x)|2 a x 恒成立，选择D.x+1,xWO,/i4.(2017全国卷ID)设函数八x)=r e g 则满足犬*)+在一才 1 的 x 的取值范围是.解析：由题意知，可对不等式分xWO,O；讨 论.当 xWO时，原不等式为x+1+x+1 l,解得 X一:.一；v x W0.当时，原不等式为2*+x+1 l,显然成立.1X-当时，原不等式为2+2 2 1,显然成立.综上可知，X的取值范围是(一；，+8)答 案:（T，+8）1课时达标检测1 _ 小题对点练点点落实对点练（一）函数的定义域1.（2018吉林省实险中学模拟）下列函数中，与函数y=?-的定义域相同的函数为（）yx c In x y-sin x .y.xc _ K n sinxC y-xe O.y 一工解析：选 D 函数y=，-的定义域为x|xW0;y=工的定义域为x|xW&7r,kZ;yyx=乎 的 定 义 域 为 x|r0;y=xe*的定义域为R;尸=2詈的定义域为x|xW 0.故选D.、/x23x 4 42.（2018河南南阳一中月考）函数式 的定义域为（）A.（-1,0）U（0,1 B.（-1,1C.（-4,-1 D.（-4,0）U（0,1一步 一 3X+4 2 0,解析：选 A 要使函数Ax）有意义，应有 x+l0,解得一lx0,l-|g(l-x)0的解集，解得一9 0,AlC.-3 D.3解析：选 D 42)=_/U)+l=/lO)+2=cosgxO)+2=l+2=3.故选 D.(yx9 0 x l,f(a)=迎 A +l)=2(a+l-l)=2 a,V f(a)=f(a+l),.y/a=2a,解得=:或=0(舍 去).；/=/(4)=2X(41)=6.当 时，a+122,*/()=2(a-l),f(a+l)=2(a+l l)=2a,A2(al)=2 a,无解.综上，/g)=log2(3x),x0