新概念物理教程力学答案详解(六)

新力学习题答案（六）6 1.一物体沿x轴作简谐振动，振幅为1 2.0 c m,周期为2.0 s,在1=0时物体位于6.0 c m处且向正x方向运动。求（1）初位相；（2）t=0.50 s时，物体的位置、速度和加速度；（3）在x=-6.0 c m处且向负x方向运动时，物体的速度和加速度。解：已知振幅A=0.12?,周期T=2.0s.角频率。=苧27r=加瓜/秒设振动方程为：x=Acos（yf+%）,则速度v=-A0sin（tyf+%）a-Aco2 cos(yf+%)f=0时：x(f=0)=Acos%=0.06 cos%=0.06/0.12=1/2J%=W又：=0)=-Aosin%0=sin 9()=0物体在初始位置下方8.(k加时 有：3x=(5.0一 8.0)xl0-2=5.0 x 1 0-2 c os(1 4 rr)=c os(1 4 rr)s i n(1 4 f )=1/4此 时：V =0.7 s i n(1 4 f )=0.7 4=0.56m/s(3)-=2V m（4）新平衡位置在初始位置之下九处:m=0Akg=1Q0g。x o-14=A =k=196？V tn(加+0.3)g(m+0.3)g 0.4 x 9.8”“八-尘-=1-叵=-=0.2/72=20.0cmk196/n 196x0.16-8.如本题图，一单摆的摆长0=lOOcm,摆球质量m=10.0g,开始时处在平衡位置。（1）若给小球一个向右的水平冲量FAt=10.0g.cm/s,以刚体打击后为1=0时刻，求振动的初位相及振幅；（2）若FA t是向右的，则初位相为多少？解：固有角频率：3.1Hz依冲量定理有：%F t _ 10.0m 10.01.0cm/s以平衡位置为原点。水平向右为x轴正向设振动方程为：x=Acos（g f+夕0）则:71xQ=0=A cos%(pQ=v0=1.0=一4 g sin%0%A71一 一 51.0 1.0 =0.33c机3.1(2)若 夫 ，向左，贝II:咻=-1.0=-Aa0 sin(pQ )=-6-9.在劲度系数为k的弹簧下悬挂一盘，一质量为m的重物自高度h处落到盘中作完全弹性碰撞。已知盘子原来静止，质量为M o求盘子振动的振幅和初位相（以碰后为t=0时 刻o解：与A/相碰撞前的速度为：%=12gh作完全非弹性碰撞，碰撞后加与M的共同速度为力:(/n+M*=mv0=2ghm+M以加、M及弹簧作为一个系统，其平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴正向mild m+M M mg则：t=0时，=-g+丁 g=k k k系统在振动过程中机械能守恒：纲+M)V；+；叱=g 姑2=A=I 2m2gh m2g2X(m+M)k k2固有频率为:设振动方程为：x=ACO S3O，+/O)则：x0=mg=AAcos%2m2 gh m 2g*(m+M)k k2cos(p0(2kh Y，/2n c s%=T l J又：v(t=0)=V j=-12gh=一 A gsin%0m+M/e、-1/22kh,(p(=7 T -arccos 7-+1l(，”+M)g)6 10.若单摆的振幅为,试证明悬线的最大拉力等于mg(i+e；I证明：向心力：F=-T-m gcos6e mv2 八=T=卜 mg cos。在夕=0处，V 为最大值-ax(平衡位置)，mg cos6也最大，所以此处T最大。根据机械能守恒有:;m41a x =mgh=，”g/(l-cos%)心=2g/(l-cos6o)=2g/1-11-g +*2g/=g l/2 T m ax=双/+mg cosO=;g咻+mg=mg(l+因)611.如本题图，把一个周期为T的单摆挂在小车里，车从斜面上无摩擦的滑下，单摆的周期如何改变？解：用 非 惯 性 参 照 系 分 析：CVA以 车 作为参考系，单摆的摆球除受重力mg及 二金绳 子 张 力T外，还受到一个沿斜面向上的非惯性 上唱尊力mg sin a的作 用。餐-一-所以加在 绳 的 切 线 方 向 上 受 到 的 力 为：F=-mg sin 0+mg sin a 三-mgO+mg sin a广 与 负 位 移（-/e）成 正 比，角频率为=#所 以 周 期 不 变，但：9=a处尸=0,此 处 为 平 衡 点。612.如本题图，将一个均质圆环用三根等长的细线对称的吊在一个水平等边三角形的顶点上，绳皆铅直。将环稍微扭动，此扭摆的运动是简谐的吗？其周期为多少？解：从力与位移的关系判断：依题知每根细绳的受力情况相同。依 扭 摆 性 质：内力矩 正比于扭转角夕所 以 抵 抗 扭 转 的 力 尸 也 正 比 于 扭 转 角 仍 且 与。角增加的方向相反设：F=k（p/为 比 例 系 数）三 根 细 绳 受 到 的 水 平 合 力 为：f =3F=-3k（p：.扭摆作简谐运动6-1 3.如本题图，质量为M的平板两端用劲度系数为k的相同的弹簧连到侧壁上，下垫有一对质量各为m的相同圆柱。将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。这系统作简谐振动吗？周期是多少？解：从 势 能 与 位 移 的 关 系 来 判 断：依 题 意，由用、?、机与弹簧组成的系统外 力 均 不 作 功，内 力 只 有 弹簧力作功，所以系统机 械 能 守 恒：以两弹簧的平 衡 位 置 为 势 能 零点，设 离 开 平 衡位置有一个x的 位 移。则 势 能 为：u=kx2+kx2-kx2 oc x22 2势 能 与 位 移 的 平 方 成 正 比，所 以 该 系 统 作 简 谐 振 动。U、2kMMT=2兀-2万o6-1 4.本题图中两个相同圆柱体的轴在同冰平面上，且相距2。两圆柱体以相同的恒定角速率按图中的转向很快地转动。在圆柱体上放一均质木板，木板与圆柱体之间的摩擦系数为内设N为常量。把处在平衡位置的木板略加触动，（1）试证明木板的运动是简谐振动，并确定其固有角频率；（2）若两圆柱体的转动方向都反向，木板是否仍作简谐振动？解：从力与位移的关系判断木板是否作简谐振动。以2/的中心。作为原点，水平向右为x轴正向设木板的长度为23线密度为7 7设木板的中心离。的水平距离为x木板受到的两摩擦力反向 木板水平受力为：/=_/左+/由=V左 N右=4 7 7 g 亿-x）-所 g（L+x）=-2/jrigx=-kx.力与负位移成正比，木板作简谐振动。（2）若两圆柱的转动方向，则:/=/左+九=-0左+W右=_ g（L -x）+所 g（L+x）=2 gx力与正位移成正比，木板滑到右边再掉下来，不作简谐振动。6-1 5.竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期公式:式中机为弹簧质量，为其劲度系数，M为系于其上物体的质量（假定弹簧的伸长量由上到下与长度成正比地增加）。推导过程：6-1 6.三个质量m 的质点和三个劲度系数为k 的弹簧串联在一起，紧套在光滑的水平圆周上。求此系统简正模（即简正频率和运动方式）。设三个质点产生的线位移分别为王、和则 各 自 的 运 动 学 方 程 为：d2x,m.dt2-k g -2）一 左（$-x3）d2x?dt2=女（尤3 -12）_%（1 2 -工1）d2x.m-尸dt2=k（x2 _ 工3）一 氏（1 3 -工2）m令：。=1,2,3）Qk-tno）_ kA,_ kA、-0则有:+（2k-mco2-M3=0-kA2+2k-ma2）A3=0要 有 解，必 需 满 足：（2k-ma）2）-k-k （2 左一to?）-k -k-k-k =0（2k-mco 即：（2k m02y 一2/一3k2（2左一机2）=0（2k-m a）2丫 -4k2（2k-mco2）-2 k2+k2（2 k-/?7 k=ma）l=5.02=5万？（牛/米）V m振幅的对数:A =/3T/3=A v=0.02 0.5 =0.0162 0.弹簧振子的固有频率为2.0Hz,现施以振幅为lOOdyn的谐变力，使发生共振。已知共振时的振幅为5.0cm,求阻尼系数丫和阻力的振幅。解：共振时：/=必=2/z v =4 4（弧/秒）A极 大即:2 m 0 M-伊6-2 1.设有两个同方向同频率的简谐振动X =A cos f +求合成振动的振幅和初位相。解：用三角法求振动的合成：c o s&+网I 4A 合-J A2AV5ACOS|3万 71T-4设合成的初位相为外71 _i 6 A 冗(p(-=t a n-=4 A 37万=0 0 =-12=2 A6-2 2.说明下列两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。解：这两种运动均代表椭圆运动：2 2（1）二+二=1 （逆时针方向）A2 B22 2（2）2T+J =1 （顺时针方向）62 3.两 支 C 调音叉，其一是标准的256H z,另一是代校正的。同时轻敲这两支音叉，在20s内听到10拍。问待校音叉的频率是多少？2 0解：*=历=2$.|啰2一|=|=乃左=|2 4七 -2%匕|I/=2 5 6 H z=匕2 5 6 =0.5v2=2 5 6.5 H z或2 5 5.5 H z6-2 4.本题图为相互垂直振动合成的李萨如图形。已知横方向振动的角频率为3,求纵方向振动的角频率。解：根据李萨如图原理：若平行于x轴的直线与李萨如图的最多交点为,，平行于y轴的直线与李萨如图的最多交点为4,则有：”=上巴 y=coyv=2 g =2。公=a)x=-CD以叫-4-2，22cornr_ 333(3)=叱X y-2=coy=CDX-2 x=co2CDVnv_ 444(4)=X=cov=(ox=-co巴-3y3 .3n_ 6 二 二二 3=CD =3 a=3co%ny 2 a)vn3(6)=coy=3cox 3co%V-16 2 5.解:略62 6.本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x 方向传播，波速为v=330m/s。试写出波函数u(x,t)的表达式。解：设波函数为w(x/)=A cos(初+心:+%)_ 77*依图可知：A =0.01机 (Po=一 一20.m A -0.2/n2T&T-攵。=3 3 O O z二.=0.01cos 3 3 00z +1 GOT-y6-2 7.设 有 维 简 谐 波u(x,t)=2.0 cos 2 7 r-10.010 x 13 0;式中x、u 的单位为cm,t 的单位为s。求振幅、波长、频率、波速，以及x=10cm处振动的初位相。解:波函数为=A c os 2万与题目比较有:A -2.0c m 2-30cm T=0.010sv =l=100/zTv=3000C/H/s=3 0m /sTx-10c m 处比x =0处落后的位相为：2乃土=2乃-2 3 0 3这就是所求的初位相6-28.写出振幅为A、频率为v、波速为c、朝正x方向传播的一维简谐波的表达式。解：不 防 取9（）=0,波函数为（x j）=A c os2乃 仁 一 土）又：T=A =Tc=v vu（x,t）=A c os 24-竺）=A c os 27rvt-j6 29.频率在20至 20*1（）3H Z的弹性波能触发人的听觉。设空气里的声速为3 3 0m/s,求这两个频率声波的波长。解：丸=vT=vv,=20/z时：4 =-=16.5？1 匕 20v2=2000H z时：%=上=-=0.16 5 mv,20006-3 0.人眼所能见到的光（可见光）的波长范围是4 000埃（紫光）到76 00埃（红光），求可见光的频率范围（1埃=10 m,光速c=3*l（）8 m/s）。解：2=-v =-v 2c 3 x 10 4 JJ匕卜=7-=-=3.9x 10 Hz小 /大 76 00 x l 0T 3 x l 08九 小 4 000 x l()T。7.5 x 10放6 3 1.一无限长弹簧振子链，所有弹簧的劲度系数为K,自然长度为a/2,振子质量m和m 相间。试证明：此链有两支频谱，即对应每个波数k有两个角频率电心池处依胜?加 的 情 况 下 有：皿卜）一 匹si n必 （声频支）V m 2 a=24cm=0.24m2 2%2-C=T2 v =0.2 4 x 1 0=2.