知识点20二次函数几何方面的应用2018--3

一、选择题 1. （2018广西省桂林市，12，3分）如图，在平面直角坐标系中， M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个一动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是( ) A．≤b≤1 B．≤b≤1 C．≤b≤ D．≤b≤1 【答案】B． 【思路分析】．如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，DB＝，证明△BDA∽△ANC，可得＝≤，从而得到b的取值范围． 【解题过程】解：如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，∵点B的坐标为（0，b），∴DB＝，∵N、C两点的坐标分别为（3，1），（3，0），∴NC＝1， AN⊥NC，∴∠ACN＋∠CAN＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAN＝90°，∴∠ACN＝∠CAN，又∵∠BDA＝∠CNA＝90°，∴△BDA∽△ANC，∴，即，，解得＝≤，又∵当点A与点N重合时，点B与点D重合，（如下图（2）），此时b＝1，∴≤b≤1．，故选B． 【知识点】二次函数；相似三角形的性质和判定；动点问题 二、填空题 1. （2018吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 + mx 交x轴的负半轴于点A. 点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A' 恰好落在抛物线上. 过点A' 作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A' 的横坐标为1，则A'C的长为 . (第14题) 【答案】3 【思路分析】如下图，A'C与y轴交于点D. 因为点A与点A' 关于点B对称，则AB=A'B；又因A'C// x轴，则ΔABO ≌ ΔA'BD，AO=A'D. 点A' 的横坐标为1，即A'D=AO=1.所以点A坐标为(-1，0)，把点A(-1，0)代入函数解析式可求得m值，进而可知A' 坐标，由A'C// x轴，可求出点C横坐标，即可求出A'C的长. 【解题过程】解：如图，A'C与y轴交于点D. ∵点A与点A' 关于点B对称 ∴AB=A'B 又A'C// x轴 ∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB ∴ΔABO ≌ ΔA'BD ∴AO=A'D ∵点A' 的横坐标为1 ∴A'D=AO=1 ∴A坐标为(-1，0) 把(-1,0) 代入抛物线解析式y=x2 + mx 得m=1 ∴抛物线解析式为y=x2 + x ∴ A' 坐标为（1，2） 令y=2得，x1 = -2 , x2=1 ∴A'C=1-(-2)=3. 【知识点】待定系数法求抛物线解析式，对称的性质，平行线的性质，三角形全等，直角坐标系中求线段长度 2. （2018广西贵港，12，3分）如图，抛物线y＝（x＋2）（x－8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②⊙D的面积是16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 x y O A C M B D E 【答案】B 【解析】抛物线y＝（x＋2）（x－8）与x轴交于A，B两点，可知A（－2，0），B（8，0） 所以D（3，0）， 所以抛物线的对称轴是直线x＝3，即①正确； 由于⊙D的半径为5，所以它的面积为25π，所以②不正确； 过C作CF∥AD，则F（6，0），此时CF＝6＞5＝AD， 因此在抛物线上不可能存在点E，使四边形ACED为平行四边形，故③错误； 当x＝0时，y＝－4，所以C点的坐标为（0，－4），因此DC＝＝5，即C在⊙D上， 又M（3，－），所以DM＝，CM＝＝ 所以DC2＋CM2＝＝DM2，所以DC⊥CM， 所以直线CM与⊙D相切，故④正确； 综上，有两项正确，故选B． 3. （2018江苏苏州，18，3分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为 （结果保留根号）． 【答案】 【解析】 本题解答时要连接MP，PN，利用菱形的性质，得出△PMN为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA的长来表示的MN的长，最后利用二次函数的性质求出MN的最小值. 连接PM，PN，∵四边形APCD，PBFE是菱形， ∴PA=PC，∵AM=MC，∴PM⊥AC，同理PN⊥BE. ∴∠CPM+∠CPN=゜， ∵∠DAP=60゜，∴∠CAP==∠NPB=30゜， 设AP=x，则PB=8-x， ∴PM=，PN= ∴MN， ∴当x=6时，MN有最小值，最小值为. 三、解答题 1. （2018广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值； (3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ＋EQ的最小值. 第26题图 【思路分析】(1)根据题意，先求出点B、C的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式； (2)用点m表示出FH和PF的长，再由FH＝HP列关于m的方程求解； (3)连接AH，以AH为边构造相似三角形，将AQ转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出AQ＋EQ的最小值. 【解题过程】 (1)∵OB＝3OA＝OC，A(，0)， ∴点B、C的坐标分别为(－3，0)，(－3，0). 设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－)，代入点C的坐标，得： －3＝a·3·(－)，解得：a＝. 故该抛物线的解析式为y＝(x＋3)(x－)＝x2＋x－3. ………………3分 (2)在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝60°. 又∵AH是∠FAC的平分线， ∴∠FAH＝30°，则AF＝FH. 由点P的横坐标为m，则它的纵坐标为m2＋m－3. ∴AF＝－m，PF＝3－m2－m. ∴FH＝AF＝(－m). ∵FH＝HP，则PF＝2FH， ∴(－m)＝m2＋m－3. 解得：m＝(舍去)或m＝－. 故m的值为－. ………………6分 (3)连接CH. ∵AF＝AC＝2，∠FAH＝∠CAH，AF＝AF， ∴△AHF≌△AHC(SAS)， ∴FH＝CH＝2. 故⊙H的半径为1. 在HA上截取HM＝，则AM＝4－＝. ∵＝，＝， ∴＝，且∠QHM＝∠AHQ， ∴△QHM∽△AHQ， ∴＝，则AQ＝MQ, ∴AQ＋QE＝QM＋QE. ………………9分 ∵点E、M是定点，故当点M、Q、E共线时，QM＋QE的值最小，即最小值为线段ME的长. 在Rt△AEM中，由勾股定理可知：ME＝＝＝. … ……………10分 【知识点】二次函数与几何综合题 2. （2018海南省，24，15分） 如图12-1，抛物线交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图12-2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形ACFD的面积； ②点P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标． 【思路分析】将A（﹣1，0）和点B（3，0）代入，求解关于a，b的二元一次方程组即可；（2）①分别求出点C、F的坐标，S四边形ACFD=S△CDF+S△CDA；②当∠ADQ=90°时，如图24-2，设PQ交CD于点G，则PQ⊥CD，G点坐标为（t，3），作DH⊥x轴于H，则H（2，0），在Rt△DHA中，DH=AH=3，△DGQ为等腰三角形，GQ=GD，，求得t的值并验证；当∠AQD=90°时，过点D作DK⊥PQ于点K，易证得△PQA∽△KDQ， ，，求得t的值并验证． 【解题过程】（1）将A（﹣1，0）和点B（3，0）代入得，，解得，∴该抛物线的解析式为． （2）①连接CD，∵，F（1，4），当x=0时，y=3，∴C（0，3）又D（2，3），∴CD∥x轴，且CD=2，S四边形ACFD=S△CDF+S△CDA=CD·（）=． ②设P（t，0），则Q（t，）． Ⅰ：若∠DAQ=90°，如图24-1，此时点Q必在第四象限，所对应的点P在AB的延长线上，此种情况不符合题意，故舍去． Ⅱ：若∠ADQ=90°，如图24-2，设PQ交CD于点G，则PQ⊥CD，G点坐标为（t，3），作DH⊥x轴于H，则H（2，0），∴在Rt△DHA中，DH=AH=3，∴∠DAH=45°，又CD∥x轴，∴∠ADC=∠DAH=45°，∴∠QDG=∠ADQ﹣∠ADC=45°，∴△DGQ为等腰三角形，∴GQ=GD，，整理得：，解得：，，当t=2时，D与Q重合，故舍去．当t=1时，，∴Q（1，4）． Ⅲ：若∠AQD=90°，如图24-3 过点D作DK⊥PQ于点K，∴∠APQ=∠QKD=90°，∵∠DQK+∠PQA=90°，又∠DQK+∠KDQ=90°，∴∠PQA=∠KDQ，∴△PQA∽△KDQ，∴，∴，∴，∵，（即Q不与A、D重合），∴，整理得：，解得，，经验证，、均符合题意，其中：，符合图24-3的情况，，符合图24-4的情况． 当时，；当时，， ∴Q（，）或（，）． 综上所述，当△AQD为直角三角形时，点Q坐标为：（1，4）或（，）或（，）． 【知识点】二次函数综合题，二次函数图象上点的存在性，相似三角形的性质与判定 3. （2018黑龙江省龙东地区，23，6分） 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝－2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2:3的两部分，请直接写出P点坐标． 【思路分析】对于（1），根据点A坐标可求c的值，根据对称轴直线可求b的值；对于（2），先确定点C和点B的坐标，计算出△ABC的面积，再根据直线CP分△ABC面积之比确定点P存在的可能性有两种，结合两种情况，分别确定点P的位置即可． 【解题过程】解：（1）∵点A（0，2）在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴c＝2，∵抛物线对称轴为直线x＝－2，∴，∴b＝4，∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋2． （2）点P的坐标为（－5，0）或（－13，0），理由如下： ∵抛物线对称轴为直线x＝－2，BC∥x轴，且BC＝6，∴点C的横坐标为6÷2－2＝1，把x＝1代入y＝x2＋4x＋2得y＝7，∴C（1，7），∴△ABC中BC边上的高为7－2＝5，∴S△ABC＝×6×5＝15．令y＝7，得x2＋4x＋2