《解直角三角形》公开课【教案】

解直角三角形 一、教学目标 1.了解解直角三角形的含义和条件． 2.能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是边）解直角三角形． 二、教学重点及难点 重点：直角三角形的解法． 难点：加强知识间的纵向联系（全等三角形的有关理论对解直角三角形的积极作用）． 三、教学用具 电脑、多媒体、课件 四、相关资源 五、教学过程 （一）实例剖析 在上节“锐角三角函数”的学习中，我们建立了直角三角形中边与角之间的关系．回到本章引言提出的描述比萨斜塔倾斜程度的问题，把该问题1972年时的情形抽象为一个数学问题，你能解决这个问题吗？ （比萨斜塔倾斜资料：意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．） 设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB=54.5 m． 因此． 利用计算器计算可得≈5°28′． 教师鼓励学生独立完成2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角． 上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数． 在上面的Rt △ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？ 学生思考、讨论后，给出解直角三角形的概念： 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 设计意图：通过解决章前问题，把实际问题抽象为数学问题，即已知直角三角形的斜边和一条直角边，求其锐角的度数．通过求解过程，让学生初步体会解直角三角形的含义． （二）梳理总结 1．回想在刚才的解题过程中，用到了哪些知识？试着梳理一下直角三角形中各个元素之间的关系． 学生小组讨论交流． 在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 如图， （1）三边之间的关系（勾股定理）． （2）两锐角之间的关系∠A＋∠B=90°． （3）边角之间的关系： ；； ；； ；． 2．解直角三角形有几种情况？ 学生交流、讨论、归纳． 此知识卡片概括总结解直角三角形的类型及解法,对于学生全面掌握解直角三角形很有利. 解直角三角形有下面两种情况（其中至少有一边）： （1）已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）； （2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）． 设计意图：让学生讨论和归纳，解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系，能让他们深刻理解解直角三角形的几种情况，必须满足什么条件能解出直角三角形，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心． （三）例题解析 两个微课系统介绍解直角三角形的基本情况. 例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，解这个直角三角形． 解：∵， ∴， ， ． 设计意图：通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高分析和解决问题的能力． 例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°． ∵， ∴． ∵， ∴． 对于c的求法，教师可引导学生采用不同的方法求解． 设计意图：通过例题的讲解，进一步训练学生解直角三角形的思路和方法，并体会从简便计算的角度选用适当的关系式进行解题． （四）课堂练习 1．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ）． A．1 B． C． D． 设计意图：考查学生根据已知条件求解锐角三角函数的能力． 2．如果一个等腰三角形的底边长为10 cm，周长为36 cm，那么底角的余弦等于（ ）． A． B． C． D． 设计意图：考查学生根据已知条件求解锐角三角函数的能力． 3．在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=，且，AB=4，则AD的长为（ ）． A．3 B． C． D． 设计意图：考查学生根据已知条件求解直角三角形边长的能力． 4．某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）． A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元 设计意图：考查学生构造直角三角形解决问题的能力． 5．在Rt △ABC中，∠C=90°，a=30，b=20，解这个直角三角形． 设计意图：考查学生根据已知条件解直角三角形的能力． 6．在Rt △ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形． 设计意图：考查学生根据已知条件解直角三角形的能力． 答案： 1．B 2．A 3．B 4．C 5．解：根据勾股定理，得 ． ∵， ∴， ． 6．解：． ∵， ∴． ∵， ∴． 六、课堂小结 此思维导图,形象概括出解直角三角形的几种情况. 1．解直角三角形是由直角三角形中已知的元素求出其余未知元素的过程． 2．解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角． 3．解直角三角形的方法： （1）已知两边求第三边（或已知一边且另两边存在一定关系）时，用勾股定理（后一种需设未知数，根据勾股定理列方程）； （2）已知中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切； （3）已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余． 选用关系式归纳为： 已知斜边求直角边，正弦余弦很方便； 已知直角边求直角边，正切理当然； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要选好； 已知锐角求锐角，互余关系要记好； 已知直角边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除． 设计意图：学生回顾本节课的收获，体会如何从条件出发，正确选用适当的边角关系解题． 七、板书设计 28.2.1解直角三角形及其应用 一、解直角三角形的定义 二、解直角三角形的方法 例1、 例2、 练习