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唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练
数学
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点为,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数对应点可得,根据复数除法运算可计算得到结果.
【详解】对应的点为,,
.
故选:B.
2. 已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出A区间,按照交并补的定义求解即可.
【详解】解不等式 ,
解得 ,
即 , ,
故选:C.
3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )
A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 2∶3
【答案】A
【解析】
【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.
【详解】设球的半径的r,依题意圆柱的底面半径也是r,高是2r,
圆柱的侧面积= ,球的表面积为 ,
其比例为1:1,
故选:A.
4. 已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,点在角的终边上,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数定义求出和,再利用二倍角公式求解即可.
【详解】根据三角函数定义,,
由二倍角公式.
故选:D
5. 已知向量,,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据,利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得,结合向量夹角范围可得结果.
【详解】,,
,解得:,
又,,即与的夹角为.
故选:D.
6. 已知F为双曲线的右焦点,A为双曲线C上一点,直线轴,与双曲线C的一条渐近线交于B,若,则C的离心率( )
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求出,,再由可求得,从而可求表示出,进而可求得离心率
【详解】由题意得,双曲线的渐近线方程为,
由双曲线的对称性,不妨设均为第一象限点,
当时,,得,所以,
当时,,所以,
因为,所以,
所以,得,
所以,
所以双曲线的离心率为,
故选:B
7. 已知函数的图象关于点对称,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称性可得,由此可构造方程求得结果.
【详解】图象关于点对称,,
又,
,
,解得:,.
故选:C.
8. 在正方体中,M为棱的中点,平面将该正方体分成两部分,其体积分别为,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图,取的中点,连接,则可得梯形 为平面所在的截面,则为三棱台的体积,设正方体的棱长为2,先求出,从而可求出,进而可求出的值
【详解】如图,取的中点,连接,
因为M为棱的中点,所以∥,,
因为∥, ,
所以四边形为平行四边形,
所以∥,,
所以∥,,
所以梯形 为平面所在的截面,
则为三棱台的体积,
不妨设正方体的棱长为2,则正方体的体积为8,
因为,
所以
,
所以,
所以,
故选:C
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 有一组互不相等的数组成的样本数据、、、,其平均数为(,、、、),若插入一个数,得到一组新的数据,则( )
A. 两组样本数据的平均数相同
B. 两组样本数据的中位数相同
C. 两组样本数据方差相同
D. 两组样本数据的极差相同
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平均数公式可判断A选项;利用中位数的定义可判断B选项;利用方差公式可判断C选项;利用极差的定义可判断D选项.
【详解】由已知可得.
对于A选项,新数据的平均数为,与原数据的平均数相等,A对;
对于B选项,不妨设,则原数据的中位数为,
若,则中位数为,
若,则中位数为,B错;
对于C选项,新数据的方差为
,C错;
对于D选项,不妨设,则,故新数据的极差仍为,D对.
故选:AD.
10. 设函数,则( )
A. 在上单调递增
B. 在内有个极值点
C. 的图象关于直线对称
D. 将的图象向右平移个单位,可得的图象
【答案】BC
【解析】
【分析】利用代入检验法可知AC正误;利用整体对应的方式可确定当时,的极值点位置,知B正确;根据三角函数平移变换知D错误.
【详解】对于A,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,A错误;
对于B,当时,,
则当或或或或或时,取得极值,
在内有个极值点,B正确;
对于C,当时,,图象关于对称,C正确;
对于D,将向右平移个单位可得:,D错误.
故选:BC.
11. 已知直线与抛物线交于,两点,为坐标原点,直线,的斜率分别记为,,则( )
A. 为定值 B. 为定值
C. 为定值 D. 为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】直线与抛物线方程联立可得韦达定理的形式,利用韦达定理依次验证四个选项即可得结果.
【详解】由得:,则;
对于A,为定值,A正确;
对于B,,B正确;
对于C,,不为定值,C错误;
对于D,,则为定值,D正确.
故选:ABD.
12. 已知,,,为函数的零点,,下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 若,则
D. a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A,只要利用函数零点的判断定理即可;
对于B,由于有了A的结论,只要判断 的范围即可;
对于C,利用函数表达式,将所给的条件带入,联立方程即可;
对于D,需要将原函数转换成容易求导的解析式,再构造函数即可.
【详解】 ,
,故A正确;
当 时, , 必无零点,故 ,
,故B错误;
当 时,即 ,两边取对数得 ,
, ,
联立方程 解得 ,由于 ,
,故C正确;
考虑 在第一象限有两个零点:即方程 有两个不同的解,
两边取自然对数得 有两个不同的解,
设函数 , ,
则 时, ,当 时, ,
当 时, ,所以 ,
要使得 有两个零点,则必须,即 ,
解得 ,故D正确;
故选:ACD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 设函数若,则________.
【答案】1
【解析】
【分析】令求出值,再根据分段函数定义域判断即可.
【详解】由题,当时,无解,
当时,,解得,成立.
故答案为:1
14. 记是公差不为的等差数列的前项和,若,,则________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用表示出已知的等量关系,解方程组求得后,利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为,
由得:,解得:,.
故答案为:.
15. 为了监控某种食品的生产包装过程, 检验员每天从生产线上随机抽取包食品,并测量其质量(单位:g).根据长期的生产经验,这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常,记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数,若的数学期望,则k的最小值为________.
附:若随机变量X服从正态分布,则.
【答案】19
【解析】
【分析】根据正态分布的性质求出在之外的概率,从而得到,根据二项分布的期望公式得到不等式,解得即可;
【详解】解:依题意,所以在之外的概率,则,则,因为,所以,解得,因为,所以的最小值为;
故答案为:19
16. 已知、,是圆上的动点,当最大时,________;的最大值为________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求得,利用基本不等式可求得当取最大值时对应的的值,推导出,利用三角换元结合正弦型函数的有界性可求得的最大值.
【详解】由已知可得,则,得,且有,
所以,
,
当且仅当时,即当时,取得最大值.
因,,所以,,
设,,其中,
所以,,
因为,则,当时,即当时,取得最大值,
此时,可得,合乎题意.
故答案为:;.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的各项均不为零,为其前n项和,且.
(1)证明:;
(2)若,数列为等比数列,,.求数列的前2022项和.
【答案】(1)证明见解析;
(2)4044.
【解析】
【分析】(1)由题设递推式可得,结合已知条件即可证结论.
(2)由(1)及等比数列定义写出通项公式,进而有,根据奇偶项的正负性,应用分组求和法及(1)的结论求即可.
【小问1详解】
因为①,则②,
②-①得:,又,
所以.
【小问2详解】
由得:,于是,
由得:的公比.
所以,.
由得:
由得:,
因此.
18. 在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.
(1)若,求b;
(2)若D为的中点,且,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)求出 ,然后按照正弦定理计算即可;
(2)利用 ,以及AD是中线的特点列方程即可.
【小问1详解】
因为,所以
在中,由正弦定理得,
即.
【小问2详解】
在中,由余弦定理得……①
因为D为的中点,所以.
在中,由余弦定理得.
在中,由余弦定理得.
由得……②
联立①②可得,即,
故答案为: , .
19. 甲、乙两支队伍进行某项比赛,赛制分为两种,一种是五局三胜制,另一种是三局两胜制.根据以往数据,在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛,在三局两胜制中指的是第三局比赛)中,甲、乙两队获胜的概率均为0.5;而在非决胜局中,甲队获胜的概率为0.6,乙队获胜的概率为0.4.
(1)若采用五局三胜制,直到比赛结束,共进行了局比赛,求随机变量的分布列,并指出进行几局比赛的可能性最大;
(2)如果你是甲队的领队,你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?
【答案】(1)分布列见解析;进行四局比赛的可能性最大;
(2)希望采用五局三胜制.
【解析】
【分析】(1)确定所有可能的取值,根据独立事件概率计算公式分别求得每个取值对应的概率,由此可得分布列;比较每个取值对应概率大小即可得到结论;
(2)分别计算五局三胜和三局两胜制时,甲队获胜的概率,比较概率大小可得结果.
【小问1详解】
由题意知:的可能取值为,,.
则;;;
则的分布列为
,进行四局比赛的可能性最大.
【小问2详解】
作为甲队领队,希望甲队最终获胜;
若采用五局三胜制,甲队获胜的概率为
;
若采用三局两胜制,甲队获胜的概率为
;
,作为甲队领队,希望采用五局三胜制.
20. 如图,直三棱柱中,,为的中点,为棱上一点,.
(1)求证:平面;
(2)若二面角大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)由直棱柱特征和线面垂直的判定和性质可证得、,由线面垂直的判定可证得结论;
(2)以为坐标原点可建立空间直角坐标系,设,利用二面角的向量求法可构造方程求得,进而利用线面角的向量求法求得结果.
【小问1详解】
在直三棱柱中,底面,底面,;
又,,平面,平面,
平面,又平面,.
由直三棱柱知:底面,底面,,
又,平面,平面,
平面.
【小问2详解】
由(1)知:,又为中点,.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,,
设,则.
由(1)知:平面的法向量可取;
设平面的法向量,
,,
,令,解得:,
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