精品解析：河北省唐山市2022届高三下学期第一次模拟数学试题（解析版）

唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数对应点可得，根据复数除法运算可计算得到结果. 【详解】对应的点为，， . 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出A区间，按照交并补的定义求解即可. 【详解】解不等式 ， 解得 ， 即 ， ， 故选：C. 3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ） A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 2∶3 【答案】A 【解析】 【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可. 【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r， 圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ， 其比例为1:1， 故选：A. 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出和，再利用二倍角公式求解即可. 【详解】根据三角函数定义，， 由二倍角公式. 故选：D 5. 已知向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果. 【详解】，， ，解得：， 又，，即与的夹角为. 故选：D. 6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出，，再由可求得，从而可求表示出，进而可求得离心率 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点， 当时，，得，所以， 当时，，所以， 因为，所以， 所以，得， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：B 7. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果. 【详解】图象关于点对称，， 又， ， ，解得：，. 故选：C. 8. 在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，则可得梯形 为平面所在的截面，则为三棱台的体积，设正方体的棱长为2，先求出，从而可求出，进而可求出的值 【详解】如图，取的中点，连接， 因为M为棱的中点，所以∥，， 因为∥, ， 所以四边形为平行四边形， 所以∥，， 所以∥，， 所以梯形 为平面所在的截面， 则为三棱台的体积， 不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8， 因为， 所以 , 所以， 所以， 故选：C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（ ） A. 两组样本数据的平均数相同 B. 两组样本数据的中位数相同 C. 两组样本数据方差相同 D. 两组样本数据的极差相同 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项. 【详解】由已知可得. 对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对； 对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为， 若，则中位数为， 若，则中位数为，B错； 对于C选项，新数据的方差为 ，C错； 对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对. 故选：AD. 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在内有个极值点 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位，可得的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】利用代入检验法可知AC正误；利用整体对应的方式可确定当时，的极值点位置，知B正确；根据三角函数平移变换知D错误. 【详解】对于A，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，， 则当或或或或或时，取得极值， 在内有个极值点，B正确； 对于C，当时，，图象关于对称，C正确； 对于D，将向右平移个单位可得：，D错误. 故选：BC. 11. 已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，，则（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】直线与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，利用韦达定理依次验证四个选项即可得结果. 【详解】由得：，则； 对于A，为定值，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，不为定值，C错误； 对于D，，则为定值，D正确. 故选：ABD. 12. 已知，，，为函数的零点，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. a的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只要利用函数零点的判断定理即可； 对于B，由于有了A的结论，只要判断 的范围即可； 对于C，利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可； 对于D，需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可. 【详解】 ， ，故A正确； 当 时， ， 必无零点，故 ， ，故B错误； 当 时，即 ，两边取对数得 ， ， ， 联立方程 解得 ，由于 ， ，故C正确； 考虑 在第一象限有两个零点：即方程 有两个不同的解， 两边取自然对数得 有两个不同的解， 设函数 ， ， 则 时， ，当 时， ， 当 时， ，所以 ， 要使得 有两个零点，则必须，即 ， 解得 ，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设函数若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】令求出值，再根据分段函数定义域判断即可. 【详解】由题，当时，无解, 当时，，解得，成立. 故答案为：1 14. 记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，解得：，. 故答案为：. 15. 为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________. 附：若随机变量X服从正态分布，则. 【答案】19 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可； 【详解】解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为； 故答案为：19 16. 已知、，是圆上的动点，当最大时，________；的最大值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求得，利用基本不等式可求得当取最大值时对应的的值，推导出，利用三角换元结合正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】由已知可得，则，得，且有， 所以， ， 当且仅当时，即当时，取得最大值. 因，，所以，， 设，，其中， 所以，， 因为，则，当时，即当时，取得最大值， 此时，可得，合乎题意. 故答案为：；. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且. （1）证明：； （2）若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）4044. 【解析】 【分析】（1）由题设递推式可得，结合已知条件即可证结论. （2）由（1）及等比数列定义写出通项公式，进而有，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求即可. 【小问1详解】 因为①，则②， ②-①得：，又， 所以. 【小问2详解】 由得：，于是， 由得：的公比. 所以，. 由得： 由得：， 因此. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. （1）若，求b； （2）若D为的中点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出 ，然后按照正弦定理计算即可； （2）利用 ，以及AD是中线的特点列方程即可. 【小问1详解】 因为，所以 在中，由正弦定理得， 即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得……① 因为D为的中点，所以. 在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得. 由得……② 联立①②可得，即， 故答案为： ， . 19. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4. （1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； （2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制? 【答案】（1）分布列见解析；进行四局比赛的可能性最大； （2）希望采用五局三胜制. 【解析】 【分析】（1）确定所有可能的取值，根据独立事件概率计算公式分别求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；比较每个取值对应概率大小即可得到结论； （2）分别计算五局三胜和三局两胜制时，甲队获胜的概率，比较概率大小可得结果. 【小问1详解】 由题意知：的可能取值为，，. 则；；； 则的分布列为 ，进行四局比赛的可能性最大. 【小问2详解】 作为甲队领队，希望甲队最终获胜； 若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为 ； 若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为 ； ，作为甲队领队，希望采用五局三胜制. 20. 如图，直三棱柱中，，为的中点，为棱上一点，. （1）求证：平面； （2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由直棱柱特征和线面垂直的判定和性质可证得、，由线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得，进而利用线面角的向量求法求得结果. 【小问1详解】 在直三棱柱中，底面，底面，； 又，，平面，平面， 平面，又平面，. 由直三棱柱知：底面，底面，， 又，平面，平面， 平面. 【小问2详解】 由（1）知：，又为中点，. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 设，则. 由（1）知：平面的法向量可取； 设平面的法向量， ，， ，令，解得：，