高三（上学期）期中考试数学试卷

高三（上学期）期中考试数学试卷 （含答案解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D．3i 3．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．关于函数，描述不正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上是增函数 D．的图像关于原点对称 5．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（    ） A．152 B．126 C．90 D．54 7．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭（除燃料外）的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的（    ）倍时，火箭的最大速度可达到12？ A． B． C． D． 8．已知函数，则对任意实数，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象向右平移个单位后得到的图象 C．在区间上单调递増 D．为偶函数 10．关于二项展开式，下列说法正确的是（    ） A． B．二项式系数和为 C．展开式中系数最小的项为第1012项 D． 11．以下命题中不正确的是（    ） A．是共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若，则 D．若为平面的一组基底，则是构成平面的另外一组基底 12．已知，，记，则（    ） A．的最小值为 B．当最小时， C．的最小值为 D．当最小时 三、填空题 13．已知，则____________． 14．老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能及格的概率是___________． 15．在三棱锥中，，，，，，则该四面体外接球表面积为____. 16．若过点可作函数的三条切线，则m的取值范围为________ 四、解答题 17．现有下列三个条件： ①函数的最小正周期为； ②函数的图象可以由的图象平移得到； ③函数的图象相邻两条对称轴之间的距离. 从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答. 已知向量，，，函数.且满足_________. （1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解； （2）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，求的值. 18．已知不等式． (1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数x的取值范围． 19．某公司对400名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对400名求职员工的测试得分（测试得分都在内）进行了统计分析，得分不低于90分为“优”，得分低于90分为“良”，得到如下的频率分布直方图和列联表． 男 女 合计 优（得分不低于90分） 80 良（得分低于90分） 120 合计 400 (1)完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联； (2)该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9个人的样本，并在9人中再随机抽取5人进行调查，记5人中男性的人数为X，求X的分布列以及数学期望． 参考公式： ． 0.15 1 0.05 0.01 2.072 2.706 3.841 6.635 20．在平面凸四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，BC＝． (1)求cos∠DBA； (2)求CD长． 21．如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点． (1)求证： (2)求证：平面 (3)求点到平面的距离． 22．已知函数，. （1）当时，在上为单调函数，求的取值范围； （2）求函数的最小值. 参考答案： 1．A 【分析】根据阴影部分表示的集合为求解. 【详解】因为集合， 所以或， 又因为或， 所以阴影部分表示的集合为或， 故选：A 2．A 【分析】根据复数代数形式的乘法法则计算可得； 【详解】解： 故选：A 3．C 【分析】利用诱导公式、两角和公式可得，再利用弦化切即得. 【详解】∵， ∴ 故选：C. 4．C 【分析】求出函数的定义域，值域，函数的单调性，对称性， 对选项ABCD分别进行判断即可得． 【详解】解：由题设有，解得或， 故函数的定义域为，故A正确． 当时，，此时， 所以为上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D正确． ， 当时， 当时，， 故的值域为，故B正确． 由可得不是定义域上的增函数，故C错误． 故选：C． 5．A 【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案. 【详解】∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件, 故选:A. 6．B 【分析】根据题意，按丁、戌的分工情况不同分两种情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，（2）丁、戌不同时参加一项工作，分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案 【详解】根据题意，分情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，种， （2）丁、戌不同时参加一项工作，进而又分为2种情况 一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有种，则有种， 二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同一份工作有种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有种，所以有， 由分类加法计数原理可得共有 故选：B 7．A 【分析】当火箭的最大速度可达到12，即，代入题给的函数关系式，再根据指对数式的互化，可化简整理得出的值，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，， 当，则， ，则，解得：， 即当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达到12. 故选：A. 8．C 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断与的关系即可. 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数为奇函数， 又， 当时，函数单调递增，单调递减， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数， 所以函数在上单调递增， 由可得，所以，故， 由可得，所以，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 9．BD 【分析】利用待定系数法求出，从而可求出函数的函数解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性，奇偶性及平移变换的特征逐一判断即可. 【详解】解：因为的图象过点，所以， 因为，所以， 因为的图象过点， 所以由五点作图法可知，得， 所以， 对于A，因为， 所以为的图彖的一条对称轴，所以A错误； 对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B正确； 对于C，若，则，所以在区间上不单调，所以C错误； 对于，， 令，因为， 所以为偶函数，所以D正确， 故选：BD. 10．BC 【分析】通过赋值法，令即可判断A选项；令，即可判断D选项；由二项式系数和即可判断B选项；求出二项式系数和系数的关系，由二项式系数的增减性即可判断C选项. 【详解】令，可得，故A错误；二项式的系数和为，B正确； 由题意得，显然当为偶数时系数为正且等于二项式系数， 当为奇数时系数为负且为二项式系数的相反数，由二项式系数的增减性知二项式系数中最大，则系数最小为，C正确； 令，得，令，得， 两式相减得，则，D错误. 故选：BC. 11．ABC 【分析】利用零向量与任意向量共线结合充要条件判断A的正误；利用平面向量的基本定理判断B；举反例可判断C；假设存在实数使得，解方程可判断D. 【详解】对于A，当时，则，则，共线成立，但当，共线时，推不出，所以是，共线的充分不必要条件，故A不正确; 对于B，当时，，不存在唯一的实数，使得，故B不正确; 对于C，已知，若，则，故C不正确； 对于D，假设存在实数使得，则，所以，因为不共线，所以无解，故不共线，故是构成平面的另外一组基底. 故选：ABC. 12．AB 【解析】根据条件可将的最小值，转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方，结合两直线的位置关系和导数的几何意义，即可求解. 【详解】由和， 则的最小值， 可转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方， 又由，可得， 因为与直线平行的直线的斜率为， 所以，解得，则切点的坐标为， 所以到直线上的距离， 即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为， 所以的最小值为， 又过且与直线垂直的直线为， 即， 联立方程组，解得， 即当最小时，. 故选：AB 【点睛】本题主要考查了函数与方程综合应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，合理转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 13． 【分析】利用赋值法分别将与带入原式求解即可. 【详解】解：令，则①， 令，则②， 则①－②可得：， 故答案为： 14．##0.8 【分析】考虑对立面，用1减去只能背出1篇的概率即可. 【详解】. 故答案为：. 15． 【分析】利用勾股定理可得出，可知为三棱锥的外接球直径，再利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示： 因为，由勾股定理可得， ， 因为，，，则， 所以，， 取的中点，连接、，则， 所以，点为三棱锥的外接球球心，且球的半径为， 因此，该四面体外接球表面积为. 故答案为：. 16． 【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，由与有三个不同的交点，即可得到m的取值范围. 【详解】设切点为，而， 切线的斜率，故切线方程为， 切线过点， ，即， 过可作曲线的三条切线， 关于a的方程有三个不同的根， 令，则，解得或， 当时，当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 关于a的方程有三个不同的根，等价于与的图象有三个不同的交点， ，即，故m的取值范围为. 故答案为：. 17．（1）不能选②，，或或；（2）. 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解； （2）结合（1），求得，根据正弦定理以及题中条件，求得，根据平方关系求得，结合诱导公式以及三角形内角和，求得的值. 【详解】（1）因为，， 所以. 若满足条件①：，所以，故. 因为， 无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选②. 若满足条件③：因为，所以，故，即. 综上，无论选条件