2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2. 已知x1、x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实根，则x1+x2等于(    ) A. −3 B. 3 C. −2 D. 2 3. 已知点A(m,2)与点B(−1,n)关于原点对称，则m−n的值为(    ) A. 3 B. −3 C. 4 D. −4 4. 一元二次方程x2−4x+5=0的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为(    ) A. 35米 B. 5米 C. 7米 D. 8米 6. 如图，△AOB中，∠AOB=90°.现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°得到△A′OB′，则∠A′OB的度数为(    ) A. 44° B. 66° C. 56° D. 46° 7. 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是(    ) A. x>−3 B. −31 D. x<1 8. 如果三点P1(−1,y1)，P2(1,y2)和P3(5,y3)在抛物线y=−x2+5x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是(    ) A. y30；③4a+2b+c=1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有(    ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 一元二次方程(x−7)(x+2)=0的两个根是x1=7，x2=______． 12. 把抛物线y=−x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 如图，AB是⊙O的直径，若AC=2，∠D=60°，则BC长等于______． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是S=−0.25t2+8t，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 15. 抛物线y=(k+1)x2−x−2与x轴有交点，则k的取值范围是______． 16. 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE//BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC.其中正确的序号是______.(请填写序号) 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题6.0分) 解下列方程： (1)2x2−4x−3=0； (2)x(2x−4)=x−2． 18. (本小题6.0分) 已知函数y=(m−1)xm2+1+4x−5是二次函数； (1)求m的值； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19. (本小题6.0分) 某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度． 20. (本小题6.0分) 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． (1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2； (3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______°. 21. (本小题7.0分) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上． (1)求证：AE平分∠CED； (2)连接BD，求证：∠DBC=90°． 22. (本小题8.0分) 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． (1)求∠B的度数； (2)若CE=43，求圆O的半径． 23. (本小题10.0分) 大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 24. (本小题11.0分) 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=23． (1)求⊙O的半径； (2)将△OBD绕O点旋转，使弦BD一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为______． (3)请你画出图形证明(2)中的结论． 25. (本小题12.0分) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作AC平行于x轴，抛物线于点C，点P为抛物线上一动点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D.问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积． (3)当t≤x≤t+3时，函数y=−x2+bx+c的最大值为2，求t的值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形． 故选：B． 根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解． 本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2.【答案】B  【解析】解：根据题意得x1+x2=3． 故选B． 直接根据根与系数的关系求解． 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca． 3.【答案】A  【解析】解：∵点A(m,2)与点B(−1,n)关于原点对称， ∴m=1，n=−2， 故m−n=1−(−2)=3． 故选：A． 直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案． 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 4.【答案】C  【解析】解：∵a=1，b=−4，c=5， ∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×5=−4<0， ∴一元二次方程x2−4x+5=0无实数根． 故选：C． 根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=−4<0，进而可得出一元二次方程x2−4x+5=0无实数根． 本题考查了根的判别式，牢记“当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】 【分析】 本题考查垂径定理，涉及勾股定理，属于基础题型． 设点O为圆弧AB的圆心，利用垂径定理和勾股定理即可求出答案． 【解答】 解：设O为圆心，连接OA、OD， 由题意可知：OD⊥AB，OA=13 由垂径定理可知：AD=12AB=12， ∴由勾股定理可知：OD=5， ∴CD=OC−CD=8， 故选：D．   6.【答案】D  【解析】解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A′OB′， ∴∠AOA′=44°， ∵∠AOB=90°， ∴∠A′OB=46°， 故选：D． 由旋转的性质可得∠AOA′=44°，再由∠AOB=90°即可求解． 本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：由题意得：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，经过(−3,0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0)． ∵抛物线在x轴的上方部分y>0， ∴当y>0时，x的取值范围是−30， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，故②错误； ③∵抛物线经过点A(2,1)， ∴1=a⋅22+2b+c，即4a+2b+c=1，故③正确； ④∵抛物线的顶点为P(1,m)，且开口方向向下， ∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤∵a<0， ∴at2+bt−(a+b) =at2−2at−a+2a =at2−2at+a =a(t2−2t+1) =a(t−1)2≤0， ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 综上，正确的共有4个． 故选：C． ①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负