《从平面向量到空间向量》示范公开课教案【高中数学北师大】

《从平面向量到空间向量》教案 ◆ 教学目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法； 2.理解共线向量、共面向量的概念； 3.经历由平面向量的概念推广到空间向量的概念的过程，体会类比二维向量知识得到三位向量知识的数学拓展的基本规律，提升学习数学的能力． ◆ 教学重难点 ◆ 重点：空间向量及其相关概念． 难点：类比平面向量及其相关概念得出空间向量的相关概念的过程． ◆ 教学过程 一、情境导入 情境：我们曾通过力和位移引入了平面向量，事实上，力和位移都是空间中的概念，如图，在天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上，在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡．3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），这些力在同一平面内吗？ 答案：显然不在同一平面内． 我们知道，力是既有大小，又有方向的量，在数学上，我们把这些力称为什么呢? 这就是我们这节课要学习的空间向量． 设计意图：通过实际的问题情境，引导学生类比之前学习的平面向量进行思考，为讲解空间向量的概念作铺垫． 二、新知探究 问题1：什么是平面向量？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 答案：平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量． 类比平面向量的概念，空间向量的概念：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量． 追问：如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？ 答案：平面向量有两种表示方法：一种是用有向线段表示；一种用小写字母表示． 类比平面向量的表示方法，空间向量也有两种表示方法： （1）用有向线段表示：例如，以点A为起点，点B为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量AB．点A叫作向量AB的起点，点B叫作向量AB的终点． （2）用小写字母a，b，c…表示，书写用a，b，c…表示． 问题2：空间向量有几个决定因素，分别是什么？ 答案：两个因素，分别是空间向量的大小、方向． 我们把表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模．用a表示．有向线段的方向表示向量的方向． 我们把方向相同且模相等的向量称为相等向量． 正是由于这一点，数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量． 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，有向线段AA'，BB'，CC'，DD'，长度相等，方向相同，是相等向量，在数学中都表示同一向量，即AA'=BB'=CC'=DD'． 追问：向量AB与向量B'A'有什么关系呢？ 答案：向量AB与向量B'A'长度相等，方向相反． 方向相反且模相等的向量称为相反向量．向量a的相反向量用-a表示． 为了方便起见，规定模为0的向量叫做零向量，记为0．零向量的起点与终点重合，零向量的方向为任意方向． 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量）．如图，向量a，b，c互为共线向量，记作a//b，a//c，b//c． 说明：相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况． 规定：零向量与任意向量平行． 当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α，记作a//α．通常，我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量．共线向量是共面向量的一种特例． 思考：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 答案：空间中任意两个向量一定共面，这是因为数学中，我们学习的向量都是自由向量，因此，可以通过平移使两个向量所在的直线有一个交点，根据 “两条相交直线确定一个平面” 可知空间中任意两个向量一定共面． 空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的．能平移到同一平面内的三个向量叫做共面向量．例如，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，向量AB，AD，A'B'均平行于平面ABCD，是共面向量，而向量AB，AD，AA'不是共面向量． 设计意图：类比平面向量，得出空间向量的相关概念． 三、应用举例 例1：给出下列命题： ①向量AB的长度与向量BA的长度相等； ②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且长度相等的向量的终点必相同； ④两个有共同终点的向量一定是共线向量； ⑤若向量AB与向量AC是共线向量，则A，B，C三点必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题有 个． 解：①向量AB与向量BA的起点和终点互换，故向量AB与向量BA的长度相等，方向相反，正确； ②当向量a与向量b都是非零向量时，a//b平行，说明表示向量a与向量b的两条有向线段所在的直线平行或重合，则a与b的方向相同或相反； 当向量a与向量b其中有一个是零向量时，a与b的方向不一定相同或相反，错误； ③向量既有大小又有方向，两个有共同起点并且长度相等的向量，若方向不相同时，终点也不相同；错误； ④两个有共同终点的向量，起点不一定相同，故它们的方向不一定相同，不一定是共线向量；错误； ⑤向量AB与向量AC有共同的起点A，而且是共线向量，说明向量AB与向量AC的方向相同或相反，不管是那种情况，都能判断A，B，C三点在同一条直线上；正确； ⑥向量可以用有向线段表示，但向量不等同于有向线段，如：零向量就不能看作是有向线段；错误． 故假命题有4个． 四、课堂练习 1．（多选）在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，与向量AB相等的向量有(    ) A. CD B. A'B' C. D'C' D. BC 2.给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足a=b，则a=b；③若a≠b，则a≠b；④若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的个数是    (    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： 1．解：如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，与向量AB相等的向量有A'B'，D'C'，DC，故选：BC． 2.解：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点相同，故命题①错误， 若空间向量a，b满足a=b，但a，b的方向没定，命题②错误； 当a=-b时，也有a=b，③不正确；④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 故选C． 五、课堂小结 设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础． 六、布置作业 教材第97页练习第1题．