资源描述
《从平面向量到空间向量》教案
◆ 教学目标
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的表示方法;
2.理解共线向量、共面向量的概念;
3.经历由平面向量的概念推广到空间向量的概念的过程,体会类比二维向量知识得到三位向量知识的数学拓展的基本规律,提升学习数学的能力.
◆ 教学重难点
◆
重点:空间向量及其相关概念.
难点:类比平面向量及其相关概念得出空间向量的相关概念的过程.
◆ 教学过程
一、情境导入
情境:我们曾通过力和位移引入了平面向量,事实上,力和位移都是空间中的概念,如图,在天平中,左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上,在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品,在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码,天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1,F2,F3),这些力在同一平面内吗?
答案:显然不在同一平面内.
我们知道,力是既有大小,又有方向的量,在数学上,我们把这些力称为什么呢?
这就是我们这节课要学习的空间向量.
设计意图:通过实际的问题情境,引导学生类比之前学习的平面向量进行思考,为讲解空间向量的概念作铺垫.
二、新知探究
问题1:什么是平面向量?你能类比平面向量给出空间向量的概念吗?
答案:平面内,既有大小又有方向的量,称为平面向量.
类比平面向量的概念,空间向量的概念:在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.
追问:如何表示平面向量?你能类比平面向量的表示,给出空间向量的表示吗?
答案:平面向量有两种表示方法:一种是用有向线段表示;一种用小写字母表示.
类比平面向量的表示方法,空间向量也有两种表示方法:
(1)用有向线段表示:例如,以点A为起点,点B为终点的有向线段可以表示一个向量,记作向量AB.点A叫作向量AB的起点,点B叫作向量AB的终点.
(2)用小写字母a,b,c…表示,书写用a,b,c…表示.
问题2:空间向量有几个决定因素,分别是什么?
答案:两个因素,分别是空间向量的大小、方向.
我们把表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模.用a表示.有向线段的方向表示向量的方向.
我们把方向相同且模相等的向量称为相等向量.
正是由于这一点,数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称之为自由向量.
如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,有向线段AA',BB',CC',DD',长度相等,方向相同,是相等向量,在数学中都表示同一向量,即AA'=BB'=CC'=DD'.
追问:向量AB与向量B'A'有什么关系呢?
答案:向量AB与向量B'A'长度相等,方向相反.
方向相反且模相等的向量称为相反向量.向量a的相反向量用-a表示.
为了方便起见,规定模为0的向量叫做零向量,记为0.零向量的起点与终点重合,零向量的方向为任意方向.
当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).如图,向量a,b,c互为共线向量,记作a//b,a//c,b//c.
说明:相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况.
规定:零向量与任意向量平行.
当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时,就说向量a平行于平面α,记作a//α.通常,我们把平行于同一平面的向量,叫作共面向量.共线向量是共面向量的一种特例.
思考:空间中任意两个向量一定共面吗?任意三个向量呢?
答案:空间中任意两个向量一定共面,这是因为数学中,我们学习的向量都是自由向量,因此,可以通过平移使两个向量所在的直线有一个交点,根据 “两条相交直线确定一个平面” 可知空间中任意两个向量一定共面.
空间中任意三个向量可能是共面的,也可能是不共面的.能平移到同一平面内的三个向量叫做共面向量.例如,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB,AD,A'B'均平行于平面ABCD,是共面向量,而向量AB,AD,AA'不是共面向量.
设计意图:类比平面向量,得出空间向量的相关概念.
三、应用举例
例1:给出下列命题:
①向量AB的长度与向量BA的长度相等;
②若向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点并且长度相等的向量的终点必相同;
④两个有共同终点的向量一定是共线向量;
⑤若向量AB与向量AC是共线向量,则A,B,C三点必在同一条直线上;
⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.
其中假命题有 个.
解:①向量AB与向量BA的起点和终点互换,故向量AB与向量BA的长度相等,方向相反,正确;
②当向量a与向量b都是非零向量时,a//b平行,说明表示向量a与向量b的两条有向线段所在的直线平行或重合,则a与b的方向相同或相反;
当向量a与向量b其中有一个是零向量时,a与b的方向不一定相同或相反,错误;
③向量既有大小又有方向,两个有共同起点并且长度相等的向量,若方向不相同时,终点也不相同;错误;
④两个有共同终点的向量,起点不一定相同,故它们的方向不一定相同,不一定是共线向量;错误;
⑤向量AB与向量AC有共同的起点A,而且是共线向量,说明向量AB与向量AC的方向相同或相反,不管是那种情况,都能判断A,B,C三点在同一条直线上;正确;
⑥向量可以用有向线段表示,但向量不等同于有向线段,如:零向量就不能看作是有向线段;错误.
故假命题有4个.
四、课堂练习
1.(多选)在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量AB相等的向量有( )
A. CD B. A'B' C. D'C' D. BC
2.给出以下结论:①两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;②若空间向量a,b满足a=b,则a=b;③若a≠b,则a≠b;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
1.解:如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量AB相等的向量有A'B',D'C',DC,故选:BC.
2.解:当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,不一定起点相同、终点相同,故命题①错误,
若空间向量a,b满足a=b,但a,b的方向没定,命题②错误;
当a=-b时,也有a=b,③不正确;④显然正确;
对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错.
故选C.
五、课堂小结
设计意图:引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识,培养学生的归纳总结能力,帮助学生深化对知识的理解与掌握,体会研究解决实际问题的思路、途径、方法,为进一步学习打下坚实基础.
六、布置作业
教材第97页练习第1题.
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