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专题16 对数
一、考情分析
二、基础知识
【知识点一、对数】
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作_______，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把记为lg N．
（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln N．
2．对数与指数的关系
当a>0，且a≠1时，．即
3．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即．
【知识点二、对数的运算】
1．基本性质
若，则
（1）______；
（2）______．
2．对数的运算性质
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）．
【知识点三、换底公式及公式的推广】
1．对数的换底公式
．
【注】速记口诀：
换底公式真神奇，换成新底可任意，
原底加底变分母，真数加底变分子．
2．公式的推广
（1）（其中a>0且；b>0且）；
（2）（其中a>0且；b>0）；
（3）（其中a>0且；b>0）；
（4）（其中a>0且；b>0）；
（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）．
三、题型分析
1．对数的概念
解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系．
例1．(1)、（2021·上海高一课时练习）对数的运算性质：如果，那么_____________； _____________；_____________.
【答案】
【分析】
直接根据对数的运算性质填写答案即可；
【详解】
解：，，
故答案为：；；
(2)、（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由对数的运算性质求解即可
【详解】
,
故选：A
(3)、（2021·全国·高一课时练习）使有意义的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的特征可得.
【详解】
由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．
故选：C.
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一专题练习） （ ）
A．4 B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数的概念，即可求出结果.
【详解】
令，则，∴.
故选：B.
【变式训练1-2】、（2022·湖南湘西·高一期末）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果.
【详解】
由对数的概念可知：可转化为，故A正确；
由对数的概念可知：可转化为，故B错误；
由对数的概念可知：可转化为，故C正确；
由对数的概念可知：可转化为，故D正确；
故选：ACD.
【变式训练1-3】、（2021·全国·高一课时练习）若有意义，则实数k的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
结合对数性质建立不等关系，即可求解.
【详解】
若有意义，则满足，解得.
故答案为：
2．对数运算性质的应用
对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：
（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；
（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；
（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如
，等．
例2．（1）、（2022·浙江·镇海中学高二期末）计算：等于___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由对数的定义、对数的换底公式计算．
【详解】
.
故答案为：1．
（2）．（2022·湖南·高一课时练习）下列各等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．（，，）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质判断各选项等式两边是否相等即可.
【详解】
A：，错误；
B：，错误；
C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；
D：且，，，正确.
故选：D
【变式训练2-1】．（2022·北京朝阳·高二期末）计算：___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质即可求解.
【详解】
解：，
故答案为：2.
【变式训练2-2】．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质逐项运算检验，即可判断各选项是否运算错误．
【详解】
解：
对于A， ，所以选项A错误；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，所以选项C错误；
对于D，，所以选项D正确．
故选：ABC．
例3、（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算性质即可求解.
（2）根据对数的运算性质即可化简求值.
(1)
(2)
【变式训练3-1】、（2021·广东·珠海市斗门区第一中学高一阶段练习）计算：
(1).
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）根据根式和分数指数幂的运算法则计算；
（2）由对数运算法则和换底公式计算．
(1)
原式＝；
(2)
原式＝．
3．换底公式的应用
换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数．
例4．（1）、（2021·天津高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】
，，
.
故选：C.
（2）、（2022·河北武强中学高二期末）(多选题)已知，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由对数与指数的互换公式可得，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D.
【详解】
由，则，则，
所以，所以A正确；
，所以B不正确；
由，因为，故等号不成立，则，故C正确；
因为，故等号不成立，故D正确.
故选：ACD.
【变式训练4-1】、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【详解】
解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
4．比较大小
例5．（1）、（2021·双峰县第一中学高二期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
三个对数底数不同，真数也不同，选取中间值比较大小
【详解】
，，
即，所以
又，
所以，所以
又，所以
所以，所以
故选：C
（2）、（2022·江苏南京·高三开学考试）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数的单调性比较得，即得解.
【详解】
解：由题得，
，
所以.
故选：C
【变式训练5-1】、（2022·四川攀枝花·高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
进行对数运算可求出，根据正弦函数的性质可得出，并得出，从而可得出的大小关系.
【详解】
解：，，，．
故选：D．
【变式训练5-2】、（2022·山西晋中·一模（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质，判断出a,b,c三个数的范围，可得答案.
【详解】
因为，即，
，即，
，
即，所以，
故选:D
5．对数的实际应用
例6．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y（单位：mg/L，）与时间t（单位：h）的关系式为（，k为正常数，表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（ ）（结果四舍五入保留整数，参考数据）
A．12h B．16h C．26h D．33h
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数关系式，结合条件可求出常数k的值，然后结合排放标准即可求出结论．
【详解】
由题意，实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
当时，，
即，
∴,
即该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为16h.
故选：B.
【变式训练6-1】、（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为______．（，）
【答案】
【解析】
【分析】
依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，即可得到保留下来的所有小正方形面积之和，从而得到不等式，再两边取对数，根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
【详解】
解：依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，所以保留下来的所有小正方形面积之和为，若使得，两边取对数可得，即，
所以至少操作次；
故答案为：
例7．（2022·湖南·高一课时练习）我们都处于有声世界之中．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，音量的定义是，这里是人耳能听到的声音的最低声波强度，．
(1)如果，求相应的分贝值；
(2)70dB时的声音强度是60dB时声音强度的多少倍？
【答案】(1) dB；
(2)10倍.
【解析】
【分析】
（1）根据题设音量公式，将代入求值即可.
（2）由题设可得，将、代入求出对应的、，即可知它们的倍数关系.
(1)
由题设，时（dB）.
(2)
由题设，，则，
所以时，；时，；
所以，即70dB时的声音强度是60dB时声音强度的10倍
例8．（2022·湖南·高一课时练习）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（，），已知大气压强随高度的变化规律是，是海平面大气压强，．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，求高山上该处的海拔．
【答案】约为
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