专练17 函数、导数及其应用综合检测
1．B 因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(1)＝0，所以排除A，故选B.
2．B 由题可得A(a,2a＋1)，B(a，a＋lna)，
∴|AB|＝|2a＋1－(a＋lna)|＝|a＋1－lna|.
令f(x)＝x＋1－lnx(x>0)，则f′(x)＝1－，当0
1时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得最小值，最小值为2>0，
∴|AB|＝|a＋1－lna|＝a＋1－lna，其最小值为2.
3．A 由指数函数y＝πx在R上单调递增，
可得a＝π0.2>π0＝1，由对数函数y＝logπx在(0，＋∞)上单调递增，知0＝logπ10时，都有xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，所以h′(x)>0，所以h(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也是定义在R上的奇函数，所以h(x)＝x2f(x)在(－∞，0)上单调递增．又函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，所以h(x)＝x2f(x)在R上单调递增．因为f()＝1，所以h()＝2f()＝2，所以x2f(x)<2即h(x)0，且＝.
同理可得b>0且＝，c>0且＝.令f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝，当01时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(5)>f(4)>f(3)．因为＝，＝，＝，所以f(5)＝f(a)，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)，所以f(a)>f(b)>f(c)．又00时，函数y＝|kx2－2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0,0)与，则当x>时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－8＝0，得k＝2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k2－8>0，得k>2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k2－8<0，得02时，f′(x)－f(x)>0，∴g′(x)>0，
故y＝g(x)在(2，＋∞)上单调递增，选项A正确；
当x<2时，f′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，
故y＝g(x)在(－∞，2)上单调递减，
故x＝2是函数y＝g(x)的极小值点，故选项B正确；
由y＝g(x)在(－∞，2)上单调递减，则y＝g(x)在(－∞，0]上单调递减，
由g(0)＝＝2，得x≤0时，g(x)≥g(0)，
故≥2，故f(x)≥2ex，故选项C错误；
若g(2)<0，则y＝g(x)至多有2个零点，
若g(2)＝0，则函数y＝g(x)有1个零点，
若g(2)>0，则函数y＝g(x)没有零点，故选项D正确．
10.
解析：由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1＝.
11．－4
解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，由题意得f′(2)＝0，得a＝3.
∴f′(x)＝－3x2＋6x，∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时f(m)min＝f(0)＝－4.
12．(1) (2)[0，]
解析：(1)当a＝时，若x≤0，则f(x)＝(x－)2≥2＝，若x>0，则f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为.
(2)由(1)知，当x>0时，函数f(x)≥2，此时的最小值为2，若a<0，则当x＝a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝0，此时f(0)不是最小值，不满足条件．若a≥0时，则当x≤0时，函数f(x)＝(x－a)2为减函数，则当x≤0时，函数f(x)的最小值为f(0)＝a2，要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a2≤2，即0≤a≤，即实数a的取值范围是[0，]．
13．A f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，
∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，
∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，
∴f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，
∴当x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时f(x)单调递增，
f(x)在(－2,1)上单调递减，
∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.
14．D 解法一：在曲线y＝ex上任取一点P，对函数y＝ex求导得y′＝ex，
所以，曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et，即y＝etx＋et，
由题意可知，点在直线y＝etx＋et上，可得b＝aet＋et＝et，
令f＝et，则f′＝et.
当t0，此时函数f单调递增，
当t>a时，f′<0，此时函数f单调递减，
所以，fmax＝f＝ea，
由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f的图象有两个交点，则b0，当t>a＋1时，f<0，作出函数f的图象如下图所示：
由图可知，当00，则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k＝，
∴2a＝.
又∵直线g(x)＝2ax－1过点(0，－1)，
∴k＝，
∴＝.解得m＝1，
∴当两线相切时，a＝.
②当a＝0时，h(x)与g(x)的图象只有一个交点．
∴所求a的取值范围是.
16．－
解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．
∵cosx＋1≥0，
∴当cosx<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cosx>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cosx＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，
∴当sinx＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
