数系的扩充与复数的引入（教师版）

微专题 数系的扩充与复数的引入 复数的必备知识点 1．虚数单位 叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于，即； （2）实数与它进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．依据这一规定，可得的幂（）的周期性：，，，，． 2．复数的有关概念 概念 意义 备注 复数的概念 形如的数叫做复数，复数通常用小写字母来表示，即，其中叫做它的实部，记作，即，叫做它的虚部，记作，即． 全体复数所构成的集合叫做复数集，用大写字母表示，即 ，则ÜÜÜÜÜ． （1） 当时，则为实数，即； （2） 当时，则为虚数，即是虚数； （3） 当，时，则为纯虚数，即是纯虚数且； （4） 当，时，则为非纯虚数，即是非纯虚数且； （5） 且． 复数相等 如果两个复数与的实部与虚部对应相等，我们就说这两个复数相等，记作 ，即且． （1）特别地，且； （2）两个实数可以比较大小，但是对于两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小，只能说相等或不相等． 复平面 （1）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．轴的单位是1，轴的单位是1．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0． （2）实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数．即：任意一个实数与轴上的点一一对应，任意一个纯虚数与轴上的点一一对应，任意一个虚数与点一一对应． 每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的 个点（一个向量）；反过来，平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数对，可以建立复数和点(或向量)之间的一一对应关系，点或向量是复数的几何表示． 复数有序实数对点． 复数的模 复数的模 （1）设复数对应的向量为，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作或．由模的定义（向量长度的计算公式）可知 （显然，） 当，复数表示实数，此时，复数的模的概念是实数绝对值概念的推广，但是实数的绝对值的性质不能完全推广到复数的模的性质． （2）复数模的几何意义：复数在复平面对应的点为，复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则： ①满足条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． ②满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部．到原点的距离． 一般地，的几何意义为复数对应的点到原点间的距离． 的几何意义为复平面上，复数，对应的点到间的距离． 复数模的性质： （1）； （2），； （3）； （4）； （5），此不等式我们称为三角形不等式； ①，等号成立的条件是：（ⅰ）当时，即，所对应的向量同向共线；（ⅱ）当时，即，所对应的向量反向共线． ②，等号成立的条件是：（ⅰ）当时，即，所对应的向量反向共线；（ⅱ）当时，即，所对应的向量同向共线． （6），此即为平行四边形对角线定理：两条对角线长的平方和，等于四边长度之平方和． （7）复数的模的概念是实数绝对值概念的推广，但是实数的绝对值的性质不能完全推广到复数的模的性质．如在实数中，，则，但在复数中，，不能得到．事实上，符合条件的有无穷多个，它们对应的点分布在单位圆上，如，，，等． 共轭复数 （1）如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数． （2）复数的共轭复数用表示，即当时，则，当复数的虚部时，，也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身． （3）显然，在复平面内，表示两个互为共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 设，，则 （1） ； （2） 为实数； （3） 且为纯虚数； （4） ； （5） ； （6） ，； （7） ，， ； （8）． 3．复数的几何意义： （1）复数复平面内的点； （2）复数平面向量． 4．复数的运算： （1）复数的加、减、乘、除运算法则 设，， 运算法则 运算形式 运算律：对任意的 加法 （1）交换律： （2）结合律： 减法 乘法 ①，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施； ②复数的乘方：相同复数的乘积，即把 个称为复数的次幂，记为．根据复数乘法的运算律，在实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意及，， ，．复数指数幂的运算可以把推广到整数集，即（注意：只推广到整数集）． （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： （4）同底数幂相乘： （5）同底数幂相除： （6）幂的乘方： （7）乘积的乘方： （8）规定：， 除法 复数的除法实质上就是分母实数化的过程，即分子、分母同时乘分母的共轭复数，化简后可得结果，最后结果要写成的形式． 复数的倒数：已知且，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作． 设，则，两边同乘，得， ， 因此，，显然． （2）复数加法、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：若向量，分别对应于复数，，且向量，不共线，则复数是以向量，为两条邻边的平行四边形的对角线所表示的向量所对应的复数．即复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义，如图所示． 说明：（ⅰ）实数的相反数是，复数的相反数是，并且在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于原点对称，这点与实数也是一样的． （ⅱ）复数的加法满足向量加法的三角形法则，并注意与物理中力的合成进行类比． ②复数减法的几何意义：两个复数与的差对应于连接它们对应向量和的终点，并指向被减向量的向量，即以向量所对应的复数． 说明：（ⅰ）两复数减法的几何意义可简单叙述为：连接两向量的终点，方向指向被减向量的终点得到的向量，就是两复数的差对应的向量． （ⅱ）用表示平面内点和之间的距离，则，其中，是复平面内的两点，对应的复数这就是复平面内两点间的距离公式． 5．复数的三角形式 定义：一般地，如果非零复数在复平面内，对应点，且为向量的模，是以轴正半轴为始边、射线为终边的一个角，则，根据任意角余弦、正弦的定义可知，，因此，，如图所示， 从而，上式的右边称为非零复数的三角形式（对应的称为复数的代数形式），其中的称为的辐角． 显然，如何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍．特别地，在内的辐角称为的辐角主值，记作． 6．棣莫弗定理 棣莫弗定理的应用——复数的乘法、除法 （1）波罗摩笈多——斐波那契恒等式：，，（），则有，两边平方得，称为波罗摩笈多——斐波那契恒等式． 辐角（argument，简记arg）：，，（），，设，，，，则，所以，同理，【可以联想到指数的运算，来记忆】．要想更容易理解，可以参照棣莫弗定理． （2）棣莫弗定理（De Moivre's formula）：设两个复数（用三角函数形式表示），，，则有． 【证明】先讲一下复数的三角形式的概念．在复平面上，用向量来表示复数，于是该向量可以分成两个在实轴、虚轴上的分量．如果向量与实轴正方向的夹角为，，那么这两个分量分别等于，，其中（），即，，所以复数可以表示为，这里称为复数的辐角，其中为辐角主值． ，，则有 ． 由棣莫弗定理复数乘法：模长相乘，辐角相加；复数除法：模长相除，辐角相减． ． 并且该定理可以推广为一般形式． 棣莫弗定理推广形式：设个复数，，，，则有． 棣莫弗定理乘方形式：在一般形式中，如果令，则有，即． 下面用“数学归纳法”来证明棣莫弗定理乘方形式： （1）当时，等式明显成立； （2）假设当时，等式成立，即， 则当时， ，即当时等式也成立， 综上，对任意正整数，都有． 7．欧拉公式：把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，，e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”． 【证明】（泰勒展开式）：根据泰勒展开式，，，得． 复数的三种表示方式： ，三种形式是等价的． 复数的三种形式：（1）坐标式：，即，则三角式为，指数式为，其中为模长，为辐角． 对于，则有： （1）棣莫弗定理：，，则有． （2）欧拉公式：，，，． 8．常用结论与方法： （1）记住以下结论，可提高运算速度：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦【或】；⑧ 【或】；记忆方法：分子、分母的对调，虚部一正一负，结果的正负与分子的虚部正负相同． （2）的幂（）的周期性：，，，，． 的幂（）具有周期性：是的周期，且最小正周期是4； 其中，，，，． （3）复数范围内因式分解公式：； （4）复数中的性质 由方程，解得，，取，，则具有如下关系： ①；②，；③，；④； ⑤，，．同样地，也具有周期性，解题时灵活运用，适当变形，巧用的性质，从而达到事半功倍的效果． 备注：实数系一元二次方程的解 ①若，则； ②若，则； ③若，它在实数集内没有实数根，在复数集内有且仅有两个共轭复数根，． （5）复数的简单分类 数的发展过程 有理数 自然数 分数 无理数 实数 虚数 复数 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 考点1 复数的有关概念与复数的（基本、综合）运算 1．复数相等：且． 2．共轭复数：与互为共轭复数． 3．复数的加、减、乘、除运算法则 加法：； 减法：； 乘法：； 除法：． 【例1】（1）（2015•天津•理9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为　 　． （2）（2005•江西•理2）设复数，，若为纯虚数，则实数　　 A． B．2 C． D．1 （3）（2012•陕西•理3）设，，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （4）（2016•北京•理9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　． 【解析】（1）由为纯虚数，得，解得：．故答案为：． （2）为纯虚数，得，即．故选：． （3）因为“”得或，只有，并且，复数为纯虚数，否则不成立； 复数为纯虚数，所以并且，所以，因此，，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选：． （4），若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得：，故答案为：． 【例2】（2010•福建•理9）对于复数，，，，若集合具有性质“对任意，，必有”，则当时，等于　　 A．1 B． C．0 D． 【解析】由题意，可取，，，，，或，，所以， 故选：． 【例3】（1）（2019•新课标Ⅱ•文2）设，则　　 A． B． C． D． （2）（2019•新课标Ⅲ•理2）若，则　　 A． B． C． D． （3）（2019•北京•理1）已知复数，则　　 A． B． C．3 D．5 【解析】（1），，故选：． （2）法一：由，得．故选：． 法二：因为，所以．故选． 法三：设，则，所以，解得，即． 故选． 法一：，．故选：． 法二：由题意，得，所以．故选． 法三：由公式，得．故选． 【例4】计算：（1）；（2）； （3）；（4）． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【例5】计算：（1）；（2）； （3）；（4）． 【解析】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式 ； （4）法一：原式； 法二：原式． 【例6】（2005•上海•文18）在复数范围内解方程为虚数单位）． 【解析】原方程化简为，设，代入上述方程得， 且，解得且，原方程的解是． 考点2 复数的几何意义相