青海省西宁市2022～2023学年高二上学期12月月考数学试题【含答案】

青海省西宁市2022～2023学年高二上学期12月月考数学试题 高二数学 一、单选题：本题12小题，共60分。 1．函数在区间上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度是关于时间的函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．下列函数求导运算正确的个数为（       ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数，则 A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．曲线 在点 处的切线方程为（    ） A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0 8．已知函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为，其中，已知，为的前项和，若恒成立，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 10．已知函数，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题5小题，共20分。 13．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______. 14．已知函数的导函数为，且，则______． 15．已知函数，则______． 16．函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是__________． 三、解答题：本题6小题，共70分。 17．求下列函数的导数： （1）；         （2）． 18．设函数，已知，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）判断函数在区间上的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的极值点个数，并说明理由． 20．已知函数在和时都取得极值. （1）求、的值； （2）若函数在区间上不是单调函数，其中，求的取值范围. 21．已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若函数的图象是的图象的切线，求的最大值. 22．已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求曲线过点的切线方程． 参考答案 1．A 根据平均变化率的定义计算． 由题意平均变化率为． 故选：A． 2．B 根据几何体的形状，判断水面高度随时间升高的快慢，判断可得出合适的选项. 几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢， 即图象越来越平缓， 故选：B. 3．C 根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果. 由，即 因为，所以 则，所以 故选：C 本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题. 4．A 根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断． 解：①，故错误；②，故正确； ③，故错误；④，故错误. 所以求导运算正确的个数为1. 故选：A. 5．B ，故选. 6．B 根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可. . 故选：B. 7．C 根据导数的几何意义，先求出函数在的导数值f′（0）＝1，即是该点处切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程. ∵f（x）＝x2+x+1， ∴f′（x）＝2x+1， ∴根据导数的几何意义可得曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线的斜率为f′（0）＝1 ∴曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线方程为y﹣1＝f′（0）（x﹣0）即x﹣y+1＝0. 故选：C. 本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程，属于基础题. 8．C 对函数进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必要条件的定义判断可得选项. 由题意可得：恒成立，所以函数在上递增， 又，所以函数是奇函数， 当 时，即，所以，即； 当时，即，所以，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 9．D 根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到与的关系，从而判断出是以为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式求出，得到的范围,即可求出. 因为，，，所以切线： 令，，∴，，则，有． ∴是以为公比的等比数列,，而，．∴恒成立,即的最小值为128. 故选：D． 10．C 对函数求导，然后代入，即可解出参数. 因为， 所以， 所以， 又， 所以， 故选：C. 11．A 根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域. 由题意可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选A. 本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉一些求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题. 12．C 依题意得在定义域内单调递增，得；在定义域内单调递增，利用导数求得，又因为，即可求得结果． 由题意可知函数在定义域内单调递增， ∴，得； 函数在定义域内单调递增， 则在上恒成立， ∴当时，恒成立，而当时，， ∴，即． 又因为，解得． 综上，实数的取值范围是． 故选：C 关键点点睛：本题的解题关键是两段函数在相应的自变量的范围内均为增函数，同时要满足． 13． 利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点，即可计算作答. 依题意，，则曲线在点处切线斜率， 因此曲线在点处的切线方程为， 切线交轴于点，交轴于点， 所以所求三角形面积为. 故 14．1 根据在某点处的导数的定义，可求得答案. 由题意可得, 故1 15． 先求导，再代入计算即可． 解：函数，则，则， 故 本题考查了基本导数公式和导数值，属于基础题． 16． ,则曲线在原点处的切线方程是. 故 17．（1）；（2）. 根据初等函数求导公式和导数的四则运算即可得到答案. （1）． （2） ． 18．（1）函数在区间上单调递增；（2）或. （1）计算出函数的导数，求出函数在处的斜率，再利用，从而求出的值，再利用导数研究的单调性，从而得出在给定区间的单调性； （2）分别求出函数在上的最小值与最大值，从而得出，再利用恒成立思想可得出m的取值范围. （1）因为， 所以，所以， 又因为在点处的切线与直线垂直， 所以，又，即， 所以，解得； 所以，则（）， 因为在单调递增，当时，， 所以在上单调递增.即函数在区间上单调递增； （2）由（1）知，，， 因为在单调递增，且，， 所以存在使得，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 由可得，所以， 因为，且在上单调递减，所以， 又因为当时，， 所以，所以，所以， 因为当时，，所以，解得或. 所以m的取值范围或. 本题主要考查函数综合、导数的计算和导数在研究函数中的应用，关键在于得出导函数取得正负的区间，得出函数的单调性，属于难题. 19．(1)； (2)当时，无极值点；当且时，有2个极值点. （1）代入，求出，再求导得，由点斜式写出切线方程即可； （2）直接求导分解因式，分、和讨论函数单调性，即可求得极值点情况. （1） 当时，，，，， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2） 易得函数定义域为R，， 当时，令，解得或，显然，则当或时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点； 当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点； 当时，令，解得或，显然，则当或时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点； 综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点. 20．（1），；（2）. （1）由题意可知，和是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值； （2）由题意可知函数在区间上存在极值点，由此可得出关于实数的不等式组，进而可解得正实数的取值范围. （1），， 由题意可知和是方程的两根，由韦达定理得，解得， 此时. 当或时，；当时，. 所以，函数在和时都取得极值. 因此，，； （2）由（1）知，函数的两个极值点分别为和， 由于函数在区间上不是单调函数，则函数在区间上存在极值点， 可得或，解得. 因此，实数的取值范围是. 本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题. 21．（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）0 （1）先求出，再解，即可得解； （2）先设切点坐标，再由切线方程得出关于的函数关系，再构造函数求最值即可得解. 解：（1）因为， ， 由，， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）设切点为， ， 所以，依题意可得， 所以， ， 则， 令， ， ∴当时，；当时，， 即函数在为增函数，在为减函数， ∴当时，有最大值， 故的最大值为0. 本题考查了导数的综合应用，重点考查了运算能力，属基础题. 22．（1）；（2）或． （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程； （2）当为切点时，由（1）可得切线方程；当不是切点时，设切点为，利用导数求得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得，进而得到切线的方程； （1），曲线在处的斜率， 时，，曲线在处的切线方程为， 即． （2）当为切点时，由（1）知：切线方程为； 当不是切点时，设过点的切线与曲线相切于点， 则切线的斜率为， ，解得：（舍）或， 切线方程为； 综上所述：所求的切线为或．