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第三章 概率的进一步认识 讲义
现实生活中存在大量的随机事件件
随机事件发生的可能性有大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算
概率的应用
理论计算
试验估算
只涉及一步实验的随机事件发生的概率
涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的的概率
列表法
树状图法
一、本章知识结构图
1
用树状图或列表求概率
专题一 用树状图和列表法计算事件发生的概率
1、(2009年云南省)在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
开 始
红 红 黄 蓝
红 红 黄 蓝
红 红 黄 蓝
红 红 黄 蓝
红 红 黄 蓝
解：
或
第2次
第1次
红
红
黄
蓝
红
（红，红）
（红，红）
（红，黄）
（红，蓝）
红
（红，红）
（红，红）
（红，黄）
（红，蓝）
黄
（黄，红）
（黄，红）
（黄，黄）
（黄，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，红）
（蓝，黄）
（蓝，蓝）
由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）=，P（小亮赢）=．
∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
（说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）
2、（2009年崇左）一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是．
（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？
解：（1）
=
（2）设袋中的红球有只，则有
（或）
解得
所以，袋中的红球有6只．
【知识要点】
用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．
【方法技巧】
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，概率问题要注意分清放回与不放回，结果是完全不一样的.
用频率估计概率
专题二 事件发生的频率与概率之间的关系
1. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能
有（ ）
A、15个 B、20个 C、30个 D、35个
2. 一个不透明的盒子中放有4张扑克牌，牌面上的数字分别3，4，5，x，这些扑克牌除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从盒子中各随机摸出1张牌，并计算摸出的这2张牌面上的数字之和．记录后都将牌放回盒子中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
摸牌总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为9”出现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为9”出现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为9”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为9”的概率；
（2）根据（1），若x是不等于3，4，5的自然数，试求x的值．
3. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
依此估计此封闭图形ABC的面积是 米2．
【知识要点】
通过实验.理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率附近．并据此估计某一事件发生的概率．
请用列表或树状图的方法求连续掷三次硬币正面朝上的概率？
二、知识过关
1.“一方有难，八方支援”,地震牵动着全国人民的心，汉中市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选出一位医生和一名护士支援灾区.
（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；
（2）求恰好选中医生甲和护士A的概率.
2、（2009贺州）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，
每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．
（1）请你列出所有可能的结果；
（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．
解：（1）根据题意列表如下：
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
由以上表格可知：有12种可能结果
（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种，
所以，P（两个数字之积是奇数）．
3、（2009年山西省）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到 元购物券，至多可得到 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．
解：（1）10，50；
（2）解：解法一（树状图）：
0
10
20
30
10
20
30
10
0
20
30
10
30
40
0
10
30
20
20
30
50
20
30
0
10
50
30
40
第一次
第二次
和
从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此（不低于30元）=
解法二（列表法）：
第一次
第二次
0
10
20
30
0
10
20
30
10
10
30
40
20
20
30
50
30
30
40
50
4、（2009年铁岭市）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．
（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
解：（1）根据题意可列表或树状图如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
1
——
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
——
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
——
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
——
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
3
4
1
（1，1）
（2，3）
（2，4）
1
3
4
2
（3，1）
（3，2）
（3，4）
1
2
4
3
（4，1）
（4，2）
（4，3）
1
2
3
4
第一次摸球
第二次摸球
从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，
∴（和为奇数）
（2）不公平．
∵小明先挑选的概率是（和为奇数），小亮先挑选的概率是（和为偶数），
∵，∴不公平．
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