北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点解析含习题练习

1第第 01 讲讲_比例线段比例线段知识图谱比例与比例线段比例与比例线段知识精讲一一比例的性质1.比例的基本性质：acadbcbd；2.反比定理：acbdbdac；3.更比定理：acabbdcd(或dcba)；4.合比定理：acabcdbdbd；5.分比定理：acabcdbdbd；6.合分比定理：acabcdbdabcd；7.等比定理：(0)acmacmabdnbdnbdnb二成比例线段1.比例线段：对于四条线段abcd，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如acbd（即:a bc d），那么这四条线段abcd，叫做成比例线段，简称比例线段2.比例的项：在比例式acbd（:a bc d）中，ad，称为比例外项，bc，称为比例内项，d叫做abc，的第四比例项三条线段abbc（2bac）中，b叫做a和c的比例中项3.黄金分割：如图，若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即2ACAB BC）则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中510.6182ACABAB，350.3822BCABAB，AC与AB的比叫做黄金比北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点解析2三点剖析一考点一考点：比例与成比例线段二重难点二重难点：比例的性质三易错点三易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论比例的基本性质例题例题 1、已知23ab（0ab），下列比例式成立的是（）A.32abB.32abC.23abD.32ba【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。因此23ab就可以转变为:3:2a b。例题例题 2、如果 x（xy）35，那么 xy（）A.85B.38C.23D.32【答案】D【解析】x（xy）35，5x3x3y，2x3y，3:3:22x y 例题例题 3、设14acebdf，则acebdf_【答案】14【解析】由等比例定理易得14aceabdfb例题例题 4、已知xyz、满足235xyzzx，则52xyyz的值为多少？【答案】13【解析】由235xyzzx，得3yx，32zx所以，55312333xyxxyzxx随练随练 1、下列各组中得四条线段成比例的是（）A.4cm、2cm、1cm、3cmB.1cm、2cm、3cm、5cmC.3cm、4cm、5cm、6cmD.1cm、2cm、2cm、4cm【答案】D【解析】A、从小到大排列，由于 1423，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于 1523，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于 3645，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于 14=22，所以成比例，符合题意随练随练 2、已知513ab，则a-ba+b的值是（）A.23B.32C.94D.493【答案】D【解析】解：由513ab，得513ab，58a-b41313=518a+b91313bbbbbb 随练随练 3、已知yzzxxyxyz（0 xyz），求xyzxyz的值【答案】13xyzxyz【解析】设yzzxxykxyz，则yzkx，zxky，xykz，所以，2 xyzk xyz，0 xyz，2k，2123xyzzzxyzzz成比例线段例题例题 1、下列四组线段中，是成比例线段的是（）A.5cm，6cm，7cm，8cmB.3cm，6cm，2cm，5cmC.2cm，4cm，6cm，8cmD.12cm，8cm，15cm，10cm【答案】D【解析】该题考查的是比例线段的定义对四条线段 a，b，c，d 如果acbd，则这四条线段成比例A：5 840426 7 ，不成比例；B：2 612153 5，不成比例；C：2 816244 6，不成比例；D：12 101208 15，成比例；故本题选 D例题例题 2、在相同时刻，物高与影长成正比如果高为 1.5 米的标杆影长为 2.5 米，那么影长为 30 米的旗杆的高为（）A.20 米B.18 米C.16 米D.15 米【答案】B【解析】标杆的高标杆影长=旗杆的高旗杆的影长，即1.5=2.530旗杆高，旗杆的高=1.5302.5=18 米例题例题 3、已知线段 a=4，c=9，那么 a 和 c 的比例中项 b=【答案】6【解析】b 是 a、c 的比例中项，b2=ac，即 b2=36，b=6（负数舍去），故答案是 6例题例题 4、美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感 已知某女士身高160cm，4下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为_【答案】8cm【解析】根据已知条件得下半身长是1600.696cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：960.618160yy，解得：8ycm随练随练 1、把长为8cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长为_cm【答案】451【解析】该题考查的是一元二次方程问题把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC），且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即:AB ACAC BC），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，设ACx，则8BCx，则88xxx，解得451x（舍去小于 0 的根），故答案为451平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理知识精讲一平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边二梯型如图，/AB CD EF，则有ACBDCEDFACBDCEDFCEDFACBDAEBFAEBF，三“8”字型如图，/AB CD EF，则有ADBCDFCEADBCDFCEDFCEADBCAFBEAFBE，三点剖析5一考点一考点：平行线分线段成比例二重难点二重难点：1.平行线分线段成比例线段的对应关系；2.需要构造平行线来证明的问题3.看似两组不相干线段的比例问题找到中间量，通过中间量进一步证明三易错点三易错点：1.成比例线段之间对应关系；2.在利用平行线分线段成比例的时候中间水平线段的比例不一定与两侧线段成比例梯型例题例题 1、如图，已知直线 abc，直线 m 交直线 a，b，c 于点 A，B，C，直线 n 交直线 a，b，c 于点 D，E，F，若ABBC=12，则DEEF=（）A.13B.12C.23D.1【答案】B【解析】abc，DEEF=ABBC=12例题例题 2、如图，已知在ABC 中，DEAC，DFAB，那么下面各等式中，错误的有（）A.:BD DCBE EAB.:BD BCAFACC.:BE EAAF FCD.:DF BADE CA【答案】D【解析】DEAC，DFAB，四边形 AEDF 为平行四边形，:BD DCBE EA，:BD BCAFAC，:BE EAAF FC，D 选项中:DF BACD DE例题例题 3、如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，AC，BC 上，DEBC，EFAB若 AB=8，BD=3，BF=4，则 FC 的长为6【答案】【解析】DEBC，EFAB，=，AB=8，BD=3，BF=4，=，解得：FC=例题例题 4、如图，已知直线 abc，直线 m、n 与直线 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F，若 AC4，CE6，BD3，则 BF（）A.7B.7.5C.8D.8.5【答案】B【解析】暂无解析例题例题 5、如图，ABC中，ABAC，D 为 BC 中点，在 BA 的延长线上取一点 E，使得EDEC，ED 与 AC 交于点 F，则AFCF的值为多少？【答案】13【解析】解：过点 D 作 DGAC，交 EB 于点 G，连接 AD，如图所示：D为 BC 中点，DGAC，G为 AB 的中点，EACDGE，DG是ABC的中位线，2ACDG，ABAC，EDEC，BACB，EDCECD，EDCBDEG ，ECDACBACE ，ACEDEG，在ACE和GED中，EACDGEACEDEGECED ，()ACEGED AAS，AEDG，7ABAC，D 为 BC 中点，ADBC，90ADB，12DGABAGBG，AEAG，/DG AC，:1:2AF DGAE GE，即2DGAF，4ACAF，13AFCF随练随练 1、如图，四条平行直线1234llll，被直线56ll，所截，1 2 3AB BC CD:，若3FG，则线段 EF 和线段 GH 的长度之和是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】解：123/lll，EFABFGBC，即132EF，解得，32EF，234/lll，FGBCGHCD，即323GH，解得92GH，则线段 EF 和线段 GH 的长度之和39622随练随练 2、如图，在梯形 ABCD 中，/AD BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，若1AD，3BC，则AOCO的值为（）AOBCDA.12B.13C.14D.19【答案】B【解析】该题考查平行线分线段成比例定理ADBC，13AOADCOBC，所以答案为 B随练随练 3、如图，/AB EF CD，BC、AD 相交于点 O，F 是 AD 的中点，则下列结论中错误的是（）8A.AOBOADBCB.OBOACEDFC.EFOECDBED.2BEOEADOF【答案】C【解析】解：A由/AB CD得AOBOADBC，所以 A 选项的结论正确；B由/AB EF得OAOBOFOE，即OBOEOAOF，由/EF CD得OEOFECFD，即OEECOFFD，则OBECOAFD，即OBOACEDF，所以 B 选项的结论正确；C由/EF CD得EFOECDOC，所以 C 选项的结论错误；D由/EF CD得OEOFECFD，即OEECOFFD，而 F 是 AD 的中点，所以22OECEOFDF，即2OEBEOFAD，所以 D 选项的结论正确随练随练 4、如图 7，直线 abc，点 B 是线段 AC 的中点，若 DE2，则 EF_图 7【答案】2【解析】暂无解析随练随练 5、如图，点1A，2A，3A，点1B，2B，3B，分别在射线OM，ON上11OA，121112A AABOA，2313A AOA，3414A AOA，11AB22A B33A B44A B则22A B _，nnA B _（n为正整数）【答案】6；1n n【解析】该题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，找规律11OA 122 12A A 923342113 134 131nnnnA AA AAAnAAn 11AB22A B33A B44A B111222OAA BOAA B2212 112A B2262(21)A B 3344123(31)204(41)A BA B1nnA Bn n“8”字型例题例题 1、如图，直线 l1l2l3，另两条直线与 l1、l2、l3分别交于点 A 及点 D，点 E 及点 B，点 F 及点 C，且 AB3，DE4，FE2，那么下列等式正确的是（）A.BCDE12B.BEDE23C.BCDE8D.BCDE6【答案】D【解析】根据题意可得：BCDEABEF6例题例题 2、如图，ADEGBC，EG 分别交 AB、DB、AC 于点 E、F、G，已知6AD，10BC，3AE，5AB，求 EG、FG 的长【答案】6EG，185FG【解析】ABC 中，EGBC，EGAEBCAB，10BC，3AE，5AB，3105EG，6EG，BAD 中，EFAD，EFBEADAB，106AD，3AE，5AB，5365EF，125EF 185FGEGEF例题例题 3、如图，/AC BD，AD 与 BC 交于点 E，过点 E 作/EF BD，交线段 AB 于点 F，则下列各式错误的是（）A.AFAEBFDEB.BFBEAFCEC.1AEBEADBCD.AFCEBFDE【答案】D【解析】解：/AC BD，/EF BD，/E