北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数知识点解析含习题练习

1第第 01 讲讲_反比例函数图象和性质反比例函数图象和性质知识图谱反比例函数的概念反比例函数的概念知识精讲一反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx(k为常数，0k)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是 x 的函数，自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数二成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系三点剖析一反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx(k为常数，0k)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是 x 的函数，自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数二成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系三易错点1.注意自变量的取值范围2.注意区分反比例函数与成反比例关系北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数2反比例函数例题例题 1、下列函数中，能表示 y 是 x 的反比例函数的是（）A.y=12xB.y=11xC.y=2xD.y=2x【答案】A【解析】根据反比例函数的定义判断即可y=12x表示 y 是 x 的反比例函数，A 正确；y=11x不能表示 y 是 x 的反比例函数，C 错误；y=2x 是正比例函数，C 错误；y=2x不能表示 y 是 x 的反比例函数，D 错误，故选：A例题例题 2、若2(1)zayax是反比例函数，则 a 的取值为（）A.1B.1C.lD.任意实数【答案】A【解析】此函数是反比例函数，21021aa ，解得 a=1随练随练 1、已知函数 y 与1x 成反比例，且当2x 时，3y （1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）当12x 时，求 y 的值【答案】（1）31yx（2）2【解析】该题考查的是反比例函数（1）设1kyx，把2,3 代入得，3k，31yx（2）把12x，代入解析式得：2y 随练随练 2、下面的函数是反比例函数的是（）A.31yxB.22yxxC.2xy D.2yx【答案】D【解析】该题考查的是反比例函数定义反比例函数形如0kykx，本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选 D随练随练 3、若函数11myx(m是常数)是反比例函数，则m_，解析式为_【答案】2；1yx【解析】由反比例函数的定义可知11m ，所以2m，1yx随练随练 4、某工人承包运输粮食的总数是w吨，每天运x吨，共运了y天，则y与x的关系式为_，是_函数【答案】wyx；反比例3【解析】由题意可得wyx，是反比例函数成反比例关系例题例题 1、已知y与x成反比例，当3x 时，4y，那么3y 时，x的值等于（）A.4B.4C.3D.3【答案】A【解析】因为y与x成反比例，所以可设kyx（0k），因为当3x 时，4y，所以43k，即12k，所以12yx，当3y 时，4x，故答案为 A 选项例题例题 2、下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）A.小明完成 100m 赛跑时，时间 t（s）与他跑步的平均速度 v（ms）之间的关系B.菱形的面积为 48cm2，它的两条对角线的长为 y（cm）与 x（cm）的关系C.一个玻璃容器的体积为 30L 时，所盛液体的质量 m 与所盛液体的密度之间的关系D.压力为 600N 时，压强 P 与受力面积 S 之间的关系【答案】C【解析】暂无解析反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质知识精讲一反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线反比例函数kyx与kyx(0k)的图象关于x轴对称，也关于y轴对称反比例函数的性质：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图象是双曲线；当0k 时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k 时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于yx 这两条直线轴对称二反比例函数k的几何意义反比例函数kyx(k为常数，0k)中比例系数k的几何意义,即过双曲线kyx上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为k4三点剖析一考点考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数 k 的几何意义二重难点重难点：反比例函数 k 的几何意义三易错点易错点：1 k 的几何意义求出面积时注意 k 的正负；2 反比例函数图像隐藏的对称性反比例函数的图象和性质例题例题 1、关于反比例函数 y=2x，下列说法正确的是（）A.图象过（1，2）点B.图象在第一、三象限C.当 x0 时，y 随 x 的增大而减小D.当 x0 时，y 随 x 的增大而增大【答案】D【解析】k=20，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C 错误例题例题 2、己知 k0，则函数 ykx，kyx 的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】暂无解析例题例题 3、已知（1，y1）（2，y2）（12，y3）都在反比例函数 y=2x的图像上，则 y1，y2，y3的大小关系是_【答案】y3y2y1【解析】反比例函数 y=2x中，k=20，函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大210，120，点 A（2，y2），B（1，y1）在第二象限，点 C（12，y3）在第四象限，y3y2y1例题例题 4、点（a1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数 y=kx（k0）的图象上，若 y1y2，则 a 的范围是_【答案】1a1【解析】k0，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，当点（a1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，y1y2，a1a+1，解得：无解；当点（a1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，y1y2，a10，a+10，解得：1a15随练随练 1、对于反比例函数 y=kx（k0），下列说法正确的是（）A.当 k0 时，y 随 x 增大而增大B.当 k0 时，y 随 x 增大而减小C.当 k0 时，该函数图象在二、四象限D.若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上【答案】D【解析】A、当 k0 时，在每个单调区间内，y 随 x 增大而减小，A 不正确；B、当 k0 时，在每个单调区间内，y 随 x 增大而增大，B 不正确；C、当 k0 时，该函数图象在第一、三象限，C 不正确；D、12=2=21，若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上，即 D 正确随练随练 2、反比例函数 y=1mx的图象如图所示，以下结论正确的是（）常数 m1；y 随 x 的增大而减小；若 A 为 x 轴上一点，B 为反比例函数上一点，则 SABC=12m；若 P（x，y）在图象上，则 P（x，y）也在图象上A.B.C.D.【答案】D【解析】由图象可知，反比例函数1myx在一、三象限，则 1m0，得 m1，故正确；由图象可知，反比例函数1myx在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，故错误；求不出三角形的面积，故错误；因为反比例函数的图象关于原点对称，故若 P（x，y）在图象上，则 P（x，y）也在图象上，故正确；由上可得，结论正确的是，故选 D反比例函数 k 的几何意义例题例题 1、如图，在平面直角坐标系中，点 P 是反比例函数 y=kx（x0）图象上的一点，分别过点 P 作 PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B若四边形 OAPB 的面积为 3，则 k 的值为（）6A.3B.3C.32D.32【答案】A【解析】点 P 是反比例函数 y=kx（x0）图象上的一点，分别过点 P 作 PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B若四边形 OAPB 的面积为 3，矩形 OAPB 的面积 S=|k|=3，解得 k=3又反比例函数的图象在第一象限，k=3例题例题 2、如图，已知反比例函数kyx（k 为常数，k0）的图象经过点 A，过 A 点作 ABx 轴，垂足为 B若AOB的面积为 1，则 k_【答案】2【解析】依据比例系数 k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于1|12k，解得 k2例题例题 3、如图，点 A、B 是双曲线 y=2x上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，若 S阴影=1，则 S1+S2=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】点 A、B 是双曲线 y=2x上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，S1+S2=2+212=27随练随练 1、如图，在反比例函数 y=（x0）的图象上，有点 P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为 1，2，3，4 分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1，S2，S3，则S1+S2+S3=【答案】【解析】由题意，可知点 P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）解法一：S1=1（21）=1，S2=1（1）=，S3=1（）=，S1+S2+S3=1+=解法二：图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点 P1向 x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，12 1=随练随练 2、如图，点 A、B 在反比例函数 y=kx（k0，x0）的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC，AOC 的面积为 6，则 k 的值为_【答案】4【解析】设 OM=a，点 A 在反比例函数 y=kx，AM=ka，OM=MN=NC，OC=3a，SAOC=12OCAM=123aka=32k=6，解得 k=48随练随练 3、如图，在平面直角坐标 xOy 中，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y=的图象都经过点 A（2，2）（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为 C，连接 AB，AC，求点 C 的坐标及ABC 的面积【答案】（1）4;yx yx ；（2）6【解析】（1）根据题意，将点 A（2，2）代入 y=kx，得：2=2k，解得：k=1，正比例函数的解析式为：y=x，将点 A（2，2）代入 y=，得：2=，解得：m=4；反比例函数的解析式为：y=；（2）直线 OA：y=x 向上平移 3 个单位后解析式为：y=x+3，则点 B 的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，第四象限内的交点 C 的坐标为（4，1），OABC，SABC=SOBC=BOxC=34=6反比例函数的应用反比例函数的应用知识精讲一利用反比例函数解决实际生活问题用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证三点剖析9一考点考点：反比例函数的应用二重难点重难点：反比例函数的应用三易错点易错点：注意自变量取值范围要符合实际意义利用反比例函数解决实际生活问题例题例题 1、某村耕地总面积为 50 公顷，且该村人均耕地面积 y（单位：公顷/人）与总人口 x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例C.若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有 100 人D.当该村总人口为 50 人时，人均耕地面积为 1 公顷【答案】D【解析】如图所示，人均耕地面积 y（单位：公顷/人）与总人口 x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，y 随 x 的增大而减小，A，B 错误，设 y=kx（k0，x0），把 x=50 时