山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期末学业水平诊断数学试题 附答案

2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，，则“”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 3.过点且与曲线相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为30cm、20cm，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（ ） A.6.6千克 B.6.8千克 C.7.6千克 D.7.8千克 5.设，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为的右焦点，若到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7.过直线上一点作圆的两条切线，，若，则点的横坐标为（ ） A.0 B. C. D. 8.已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A. B.平面 C.与所成角为60° D.与平面所成角的正弦值为 10.已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A.的最小正周期为 B.在上单调递增 C.的图象关于点对称 D.若，且在上无零点，则的最小值为 11.已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 12.已知过抛物线焦点的直线交于，两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（ ） A.当时， B.当时， C.存在使得 D.存在使得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知，则的值为______. 14.已知向量，，若，则的值为______. 15.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______. 16.在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱，为侧棱的中点，在侧面矩形内（异于点），则三棱锥体积的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求面积的最大值. 18.（12分）已知数列和的各项均不为零，是数列的前项和，且，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19.（12分）如图，是以为斜边的等腰直角三角形，是等边三角形，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20.（12分）某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的. 21.（12分）已知双曲线的焦距为，，为的左、右顶点，点为上异于，的任意一点，满足. （1）求双曲线的方程； （2）过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，，在轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由. 22.（12分）已知，，，为的导函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围. 2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学参考答案及评分标准 一、选择题 DBBC ACDA 二、选择题 9.BC 10.ACD 11.ACD 12.ABD 三、填空题 13.1 14. 15.67 16. 四、解答题 17.解：（1）由正弦定理可得，……1分 因为，所以， 即，……2分 整理得：， 因为，所以，所以， 因为，所以.……4分 （2）在中，由余弦定理得：，……5分 即，……6分 整理得，当且仅当时，等号成立. 所以，……8分 因为，所以， 所以面积的最大值为.……10分 18.解：（1）因为，所以， 两式相减得.……1分 又因为，所以，……2分 所以数列和都是以2为公差的等差数列. 因为，所以在中，令，得， 所以，，……3分所以，……4分 对于数列，因为，且，所以，……6分 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.……7分 （2）因为 所以……8分 两式相减得，……9分 ……11分 所以.……12分 19.解：（1）证明：取中点，连接，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以.……1分 因为是等边三角形，所以.……2分 ，平面，平面，……3分 所以平面.……4分因为平面，故.……5分 （2）在中，，，，由余弦定理可得， ，故.……6分 如图，以，及过点垂直于平面的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，……7分 可得，所以，，， 设为平面的一个法向量，则 ，令，可得，……9分 设为平面的一个法向量，则 ，令，可得，……11分 所以，故平面与平面夹角的余弦值为.……12分 20.解：（1）设该容器的体积为，则， 又，所以，……2分 因为，所以.……4分 所以建造费用， 因此，.……5分 （2）由（1）得，.……6分 由于，所以，令，得.……7分 若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.……9分 若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.……11分 综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.……12分 21.解：（1）设，，，则，……1分 又因为点在双曲线上，所以.……2分 于是，对任意恒成立，所以，即.……3分 又因为，，可得，，所以双曲线的方程为.……5分 （2）设直线的方程为：，，，由题意可知， 联立，消可得，，则有，，6分 假设存在定点，则7分 ……8分 令，解得，……10分 此时，……11分 所以存在定点，使得为定值.……12分 22.解：（1），则，……1分 当时，方程的根为. 当，即时，当和时，， 单调递增，当时，，单调递减.……2分 当，即，当和时，， 单调递增，当时，，单调递减.……4分 当，即时，恒成立，函数在上单调递增，……5分 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.……6分 （2）存在实数使得对任意恒成立，即恒成立. 令，则.……7分 因为，当时，恒成立；当时，，函数在上单调递增，且，， 所以，存在，使得，且在上单调递减， 在上单调递增，所以.……9分 于是，原命题可转化为存在使得在上成立， 又因为，所以. 所以存在，使得成立.……10分 令，，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以.……12分