高二寒假讲义3 不等式（文） （教师专用）

高中数学寒假讲义 寒假精练3 不等式 典题温故 1．已知集合，对于满足集合的实数，使不等式 恒成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，∴， ∵不等式， 即不等式恒成立，即不等式恒成立， 即只需或恒成立，即只需或恒成立． ∵，∴或． 2．已知不等式，对任意正实数恒成立，则正实数的最小值是_____． 【答案】 【解析】由于， ∴， 此不等式恒成立，当且仅当时等号成立， 由题设可得，∴，，∴． 经典集训 一、选择题 1．若为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 6．当时，不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．若不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税元(称为税率)，则每年的产销量将减少万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，满足约束条件，则目标函数的最大值是________． 10．已知，若，则的最大值为________． 三、简答题 11．已知，求证：． 12．某新成立的汽车租赁公司今年年初用102万元购进一批新汽车，在使用期间每年有20万元的收入，并立即投入运营，计划第一年维修、保养费用1万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加1万元，该批汽车使用后，同时该批汽车第年底可以以万元的价格出售． （1）求该公司到第年底所得总利润(万元)关于 (年)的函数解析式，并求其最大值； （2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该公司应在第几年底出售这批汽车?说明理由． 13．设函数 (，，为常数，且，)． （1）当，时，求证：； （2）当时，如果对任意的都有恒成立，求证：． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B 【解析】选项A，当时不成立； 选项B，∵，∴，正确； 选项C，取，，，，则不成立； 选项D，若，则，因此不正确． 2．【答案】B 【解析】由不等式的解集为，得，且方程的两个根分别为，． 由韦达定理得，，所以可化为， 化简得，即，解得或， 即不等式的解集为． 3．【答案】B 【解析】可化为， 当时，不等式为恒成立；当时，不等式的解集为； 当时，则，解得， 综上有． 4．【答案】D 【解析】不等式等价于，所以或，故选D． 5．【答案】D 【解析】因为，当且仅当时，等号成立，所以A错误； 对于D，因为，所以，故D正确； 对于B，C，当，时，明显错误． 6．【答案】D 【解析】当时，不等式等价于， 且，，解得或， 故不等式的解集为． 7．【答案】A 【解析】∵关于的不等式在区间上有解， ∴，，． ∵函数在单调递减，∴当时，函数取得最小值． ∴实数的取值范围为． 8．【答案】A 【解析】设产品销量为每年万瓶，则销售收入每年万元，从中征收的税金为万元， 其中． 由题意，得，整理得，解得． 二、填空题 9．【答案】3 【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示： 由图易得，当，时，目标函数的最大值为3． 10．【答案】2 【解析】∵，∴， 即，即，∴，当且仅当时等号成立， 即的最大值是2． 三、简答题 11．【答案】证明见解析． 【解析】证明：， ∵，∴，， ∴，即． 12．【答案】（1）见解析；（2）第12年底出售该批汽车． 【解析】（1）依题意得， ∵，，∴当时，， ∴该公司到第19年所得的总利润最大，最大值为万元． （2）依题意年平均利润为， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴该公司在第12年底出售该批汽车时经济效益最大． 13．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）当，时，． ①当时，，当且仅当时，上式取“”号； ②当时，则，， 当且仅当时，上式取“”号， 综上，． （2）当时，对任意的都有恒成立，则． ∵，∴， 当且仅当，即时，取得最小值， ∴， 又，∴． 更多微信扫上方二维码码获取