2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019）常考题型03 用向量法求空间角含解析

2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破常考题型03 用向量法求空间角 1.异面直线所成的角：把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角. 2.异面直线所成的角的取值范围是 3.直线与平面所成的角的定义 (1)当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角； (2)当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角; (3)当直线与平面相交但不垂直时， 这条直线与它在平面内的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 4.直线与平面所成的角的范围：0°≤0≤90°。 5.二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角. 6.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 考法一：求异面直线所成的角 设两条异面直线a，b的方向向量分别为，，其夹角为θ，则cosφ=|cosθ|=(其中φ为异面直线a，b所成的角)。 考法二：求直线和平面所成的角 1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）； 2.如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有sinφ=|cosθ|=。 考法三：求二面角 (1)如图(1)，AB，CD是二面角α-l-β两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=<，>. (2)如图(2)(3)，，分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ=<，>(或π-<，>)。 探究一：求异面直线所成的角 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 思路分析： 将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范围。 【变式练习】 1．如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是线段的中点，N是线段的中点，则直线与直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(    ) A． B． C． D． 探究二：求直线和平面所成的角 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 思路分析： 先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果。 【变式练习】 1．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（    ） A． B． C． D． 探究三：求二面角 正方体中，点为中点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 思路分析： 设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值。 【变式练习】 1．已知二面角的平面角为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知P为正方体的棱上一动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成的锐二面角为，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．直线与所成的角的余弦值是 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的正弦值是 2．在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 7．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为，则下面结论正确的是（    ） A．满足的点的轨迹长度为 B．点存在无数个位置满足直线平面 C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 D．若是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为 10．如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ） A．到直线的最大距离为 B．点的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11．如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ） A．与是异面直线 B．与所成角的大小为 C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ） A．与是异面直线 B．与所成角的大小为 C．与平面所成角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 三、填空题 13．如图所示，在四棱锥中，//，且，若，，则二面角的余弦值为______． 14．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为______． 15．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________． 16．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论： ①存在点M，使得直线AM与直线夹角为30°； ②存在点M，使得与平面夹角的正弦值为； ③存在点M，使得三棱锥的体积为； ④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线AB所成的角． 则上述结论正确的有______．（填上正确结论的序号） 四、解答题 17．如图，已知是底面为正方形的长方体，，，的的中点. (1)求证：直线平面： (2)求异面直线与所成角的余弦值. 18．如图，已知平面，底面为矩形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求PC与平面PBE所成角的正弦值． 20．如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，. (1)求证：平面AEG； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由. 常考题型03 用向量法求空间角 1.异面直线所成的角：把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角. 2.异面直线所成的角的取值范围是 3.直线与平面所成的角的定义 (1)当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角； (2)当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角; (3)当直线与平面相交但不垂直时， 这条直线与它在平面内的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 4.直线与平面所成的角的范围：0°≤0≤90°。 5.二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角. 6.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 考法一：求异面直线所成的角 设两条异面直线a，b的方向向量分别为，，其夹角为θ，则cosφ=|cosθ|=(其中φ为异面直线a，b所成的角)。 考法二：求直线和平面所成的角 1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）； 2.如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有sinφ=|cosθ|=。 考法三：求二面角 (1)如图(1)，AB，CD是二面角α-l-β两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=<，>. (2)如图(2)(3)，，分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ=<，>(或π-<，>)。 探究一：求异面直线所成的角 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 思路分析： 将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范围。 【解析】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为 所以，. 设，则. 所以. 令，则， 因为，所以. 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 故选：C 【答案】C 【变式练习】 1．如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是线段的中点，N是线段的中点，则直线与直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以D为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2，则, ∴，∴， 即， ∴直线与直线所成的角是, 故选：D 2．如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆锥的性质可知平面，故可以点O为坐标原点，平面内过点O且垂直于的直线为x轴，分别为y、z轴建立空间直角坐标系， 设，则， 易知， ∵，∴，∴， ∴，， ∴， 因此，异面直线与所成角的余弦值为． 探究二：求直线和平面所成的角 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 思路分析： 先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果。 【解析】设平面的法向量为， 则，即， 令，可得，，则. . 设与平面所成的角为：则. 故到平面的距离为，即四棱锥的高为.