线性离散系统的分析与设计

炉温采样系统方块图 第六章：线性离散系统的分析与校正 §6.1离散系统 •离散系统 系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，称 之为离散系统。 挂图举例 炉温采样控制系统 米用检流计（灵敏度、精度咼），可以提咼系统控制精 度。采样调节，风门调节逐渐进行，可避免出现过调，出现波动。 •学习离散系统分析设计方法的目的：用于计算机控制系统的分析、设计。 计算机控制系统的原理框图： 等效结构图: 1、米样保持过程。 A/D：相当于一个采样开关 时间离散：r<视3。为理想采样开关：e*(kT) = e(kT) 数值离散：数字机字长足够：一一忽略量化误差影响. 数字机：数码处理装置：用G,(s)+开关描述其输入e”输出/特性。 D/A：用ZOH零阶保持器实现数码的一拍保持。 厶采样系统的特点： (1) 采样点间信息损失，带来量化误差和量化噪声; _ 稳定性变差 •代价(与相应的连续系统相比< 〔动态性能会有损失 (2)需附加A/D, D/A等部件。 0)利用数字机可以灵活的实现各种不同的控制律一一适应性广; •利益(2)控制多台设备，协调生产过程一一经济性好，功能强； (3)利于实现生产过程的信息化和现代化管理。 3、采样系统的研究方法 数学工具一一Z变换 研究方法——连续系统研究方法的推广。 §6. 2信号的釆样与保持 e = w(t) •%(》) = — =〉&(nT) • 8(t — nT) ( 1) n=0 n=0 oo oo L[e (0] = E*(5)=厶[工 e(M)5(/ — M)]=工 e(M) • e~nTs ( 2 ) n=0 n=0 例]:e(t) = 1(?),求E*(s) o oo [ 解：E*(£)=工 1 •严=l + e-w+ 产 + e-3w += = ”=o 1-e ls eTS -1 例 2： e(t) = e~at,求E*(s)。 00 1 解：E* （$）=工严『•严=1 + 厂（十）+ e"*） +•••= =— n=0 1 —幺 幺 另外，若将采样函数（理想单位脉冲序列）展开为富氏级数: OO 6吩工5严 •••(0严耳采样角频率 C” =丄爲(t疋闷dt富氏级数 丄~2 = -^_3^in0,^dt 1 r0+ 1 =—[§⑴ ddt =— j1 Jo~ t e*(?) = e(t) •爲(/) = ； e(/) • £ e~jna>st = ； £ e(/) • e~ina>s， 上 n=—oo J- n=—oo L[e\t)] = E*(5)=厶& £ e(/)• e+沁‘]=* £ E(s + 〃©) (4) 上 n=—oo 上 n=—oo 1 1 00 1 彳列 3: e(t) = 1(0, E(s) = -=>E*(5)= -Y s T s + jna)s 1 1 1 例 4: e(/) = e-at ,E(s) =——n E* (s)=—工 s + a T s + a + jncos 比较式(3)、(4)有： E*(s) = £e(M>eW 先对L变换之后再乘 n=0 1 d =一工E(s + jg)先乘e(%T(/)之后L变换 T n=-°o '给出£(s)与幺⑴在采样瞬时值之间的联系； 前式： < 一般可以写出封闭形式； 用于求e”⑴的L变换，或时间响应过程。 '给出矿($)与E(s)之间的联系； 后式： <一般写不出封闭形式； 用于对ep)的谱分析。 2、信号的复现 连续信号: 富氏变换 单一有限带宽的连续频谱 离散信号, 富氏变拱 1 8 e (?)频谱：E*(ja>)=丄£ E(ja)+力叫)是以角频率©为周期的周期频谱 r^-' n=—oo 香农采样定理：——信号完全复现的必要条件 [©: e(/)中所含各谐波分量中的最大① os > 2叫或 T < — < ° © a)s:米样角频率廻= 给出了不产生频率混迭的采样角频率p的下界(或采样周期T的上界)，若 找到一个理想滤波器(铅笔所画为其幅频特性)，便可实现信号完全复现。 Z0H 单位脉冲响应 = 1 1 1 _(rTS Gh (s) = -1(?-t)] = —严= s s s ZOH的频率特性: Gh (je)= j(o T sin(刃T/2) eT/2 2兀sin龙⑷/©）“_加（％） 'i c 厂理想滤波器幅频特性 E 里想滤波器相频特性 心妙） •零阶保持器频率特性与理想滤波器频率特性不同，不能实现完全复现。 •零阶保持器有相角延迟（近似可视为一个/产环节）对系统性能不利。 3T 5T 7T» 2T 4T 6T §6.3 Z变换理论 采样信号的拉氏变换是s的超越函数，不便于分析处理，故引入Z变换的工 具。 1、Z变换的定义： e （0 = £ e{nT^3{t- nT） E(z) = Z[/(/)] =厶甘(/)£_ £e(“T) •严 |n=Q E(z) = Z[e\t)] = £e(“7> z「" = Z[E(s)] = Z[e(/)] = Z[E*(s)] n=0 注：Z变换只对禺散信号而言,e*(/)是E(z)的像原函数,E(z)是e*(/)的Z变换。 E(z)只对应唯一的离散信号e”(/),不对应唯一的连续信号e(/)- 2、Z变换方法： 「1、级数求和法(用定义) 2、查表法(部分分式法) 例]、e(/) = t,求E(z)=? 解法一、(级数求和法) =7z[z-2 + 2z-3 + 3z-4 • • •] —1 —， —3 Z_l 1 ••• z +z^ + z += r = 1-z-1 z-1 E(z) = £ e(“T)z「" = £ nTz-" = T[z 1 + 2z" + 3z「‘ + …] n=0 n=0 E(z) = -Tz—— = —Q ,=上乙 d I ° 3 ° dz z-1 (z-1)- (z-1)" —[z“ + 亍 + + …]=—[z 〜+ 2z_ + 3z「" +•••] dz 解法二、查表法：E(s) 1s2 Tz £(z)=Z[7]-(z-ir 例2： 解一、 级数求和法: E(s) 1 (s + q)-(s + Z?)_ 1 1 1 a-b G + q)(s + Z?) a-b s + b s + 丿 求 E(z) = ? .•.e(/)= 1 [e"‘—e「"‘] a-b E(z) = £e(“T)z「" = 1 严"芮” «=o a—b n=o =1 {[1 + e~bTz~' + e~-bTz~- + • • •] - [1 + e~clTz~' + e~2ciT z~2 +•••]} a-b =1 { 1 } }= 1 [ z - z ] a—b l — e~bTz~l l — e~aTz~l a — b z — eTbT z —解二、查表法： E⑵^丙匕旷士 Z［士 Z-bT —]=、s + a a-b z-e • z变换的局限性： %1 只反映米样点上的信息e (/); %1 ep)不对应唯一的连续函数e(/)。 典型信号Z变换。 例］、单位脉冲e(/)5) E(z)=工 e(“T)z「" = e(OT) - = 1 n=0 例2、单位阶跃：e(/)=l(/) 『|<1 『|<1例2、 E(z) = £ e(nT)z~n = £ z~n = 1 + z_1 + z~2 H F z~n H—=—— n=0 n=0 ] — Z Z — 1 例3、单位理想脉冲序列：= = 皿) n=0 8 8 1 Z E(z)=工 e(nT)z'n =工 l(nT) -z~n=l + z_1 + + z』+ …=——-=丄 n=0 n=0 ] — Z Z — 1 唯一 * 不唯一 例 3 中:e⑴ Te*(t)；但e*(t) <- e(t)； 例4、单位斜坡：e(/)“ E(z)=工 e(nT)z~n =工 nT - z~n n=0 n=0 Tz(Z —If 由例2、3有：fz^= — 两边对z求导: £(—n=0 (z-l)-z_ -1(z-1)2 =(z-l)2 n=0 z — 1 两边乘以(-Tz) : . Tz 2 n=0 (Z—1) 例5、指数函数：e(/) = e「" oo oo oo 1 77/ \ 、' / rri\ —n 、' —aTn —n 、' / —aT —1 \n 丄 Z E(z) = 2Z(〃T)z =2z z =L(€ ・Z )二 ~~ 二 : n=0 n=0 n=0 】—幺 Z Z — C 例 6、正弦信号：e(Z) = sinfflf = —[ejM - e~jw] 8 1EQ 匹" n=0 'J 2j z—")} 旷如苗"=丄{£■ z「")_£(e”"‘ 2 j n=0 n=0 _ 1 z z 1 z(ejMT-e'j6)T) =~ z —严= 2}z2-z^+^r) + lJ z • sin aST z1 -2zcos 曲 + 1 例 7、已知E(s)=—-—,求E⑵。E(z)hE(s) j =- -i 处 + 1) 肓吸 hnz(|；lnz + l) 解：E(5)= - — - Te(/) = 1(/) —e" S 5 + 1 E(z) f='5 — - z = z(z-el z-1 z-e_T (z-l)(z-eT) 注 E(z)hE(s) i £=—lnz T 例8、查表法： e~at cos cot z2 - ze_aT cos qT ^z2 - 2ze_aT cos 69T+e_2aT 3、Z变换基本定理 (1) 线性性质：Z[ae；(0 ± be；(01 = aEx (z) ± bE2 (z) (2) 实位移定理 延迟定理：Z[e(/-M)] = z「"E(z) z_1 = e~sT :延迟算子(2) n-1 超前定理：Z[e(t + nT)] = zn[E ⑵-工 e(灯)(3) k=0 oo oo 证(2)式：Z[e(t-nT)] = e(kT-nT)z~k = z~''e[(k-n)T]- z~{k~n) k=0 k=0 j=k-n 00 =z-^e(7T)z^=z-^(z) j=n 证(3)式：兀=1时： Z[e(t + 门]=工 e(kT + T)z~k = z》e[(k +1)7)]・ z"+d k=0 k=0 j=k+\ =z[工 e(jT)z「」-e(0) • z°] = z[E(z) - e(0)] /=() Z[e(t + 2T)]=工 e(kT + 2T)z~' =z2^ e[(k + 2)T)] • z~('+2) k=0 k=0 j=k+2 00 =z2 [工 e(jT)z-J - e(0) • z° - e(T) • z'1 ] 7=0 2-1 = z2[E ⑵-工 e(M)z"] R=0 综合有(3)式。 例:e(t) = t-T,求 E(z) = ? 解: Z[e(/)] = Z[kT-T] = z~lZ[kT] = z_1 Tz _ T (z-l)2=(z-l)2 例:e(t) = t + 2T,求 E(z) = ? 厶“ ⑶式 t7 丄 解：E(z) = z\--L—-YkTZ-k] (z—1) k=0 (3)复位移定理：Z[e(t)-e^at] = E(z-e±aT) (4) 证：左=£ e(n