第2章城市供水量的预测模型——插值与拟合算法2.1城市供水量的预测问题2.1.1实际问题与背景为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来1天 或1周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划.现有某城市7年（2000年 1月1日〜2006年12月31 口）用水量的历史记录，如表2. 1. 1表2. 1.2 2000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）年份2000200120022003200420052006用水量4032. 414186. 02544296. 98664374. 8524435. 23444505. 42744517. 6993所示.如何充分地利用这些数据建立数学模型，来预测2007年1月份城市的用水量，以 制定相应的供水计划和生产调度计划.表2. 1. 1某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日）日期2000010120000102 2006123020061231日用水量122. 1790128. 2410 150. 40168148. 2064利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学模型来预测2007年1月份 该城市的用水量.如果能建立该城市的日用水量随时间变化的函数关系，则用该函数来进行 预测非常方便.但是，这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么，能否根据历史 数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息求出其近似函数的常用方法有 插值法和数据拟合.本章将详细介绍插值法和数据拟合，并用这两种方法对该城市的供水量 进行预测.2.2求未知函数近似表达式的插值法2.2.1求函数近似表达式的必要性一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f(x)在区间［a,。
］上存在且连 续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值 (即一张函数表).显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其他一些点上 的函数值是非常困难的.在有些情况下，虽然可以给出函数f(x)的解析表达式，但由于结 构相当复杂，使用起来也很不方便.面对这些情况，希望根据所得函数表(或结构复杂的解 析表达式)，构造某个简单函数x)作为未知函数f(x)的近似.插值法是解决此类问题的一 种常用的经典方法，它不仅广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值 计算的基础.定义2. 1设函数y = f(x)在区间［a,Z?］±连续，且在n. + l个不同的点a < x0 xn < b 上分别取值％，义，…，月，在一个性质优良、便于计算的函数类中中，求一简单函数 ",使光)=义 @ = 0』，…〃) (2. 2. 1)而在其他点X x i (i=0, 1, 2, •••, n)上作为f(x)的近似.区间［a,/?］称为插值区间，点x0,Xp---,x称为插值节点，式(2.2. 1)称为f(x)的插值条件，函数类中称为插值函数类，©(X)称为函数在节点x0,%!，•••,%„处的插值函数，求插值函数。
X)的方法称为插值法.插值函数类中的取法不同，所求得的插值函数X)逼近f(x)的效果就不同，它的选择 取决于使用上的需要.常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等.当选用代数多项式 作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值.这里主要介绍多项式插值.在多项式插值中，求得一个次数不超过n的代数多项式4 (.*) = %+a/ anxn (2. 2. 2)使 = .@ = 0,1,,•••,〃) (2.2.3)成立，其中％,%,•••,与为实数.满足插值条件(2. 2. 3)的多项式(2. 2. 2),称为函数f(x)的K次插值多项式.n次插值多项式P (%)的几何意义：过曲线y = /(.r)上的〃.+ 1个点（耳,必）（，=1,•••/）作一条〃次代数曲线y = 4（"）作为曲线y = /（x）的近似，如图2-1所2.2.2插值多项式的存在唯一性由插值条件（2.2.3）知，% （%）的系数《（，=0,1, • • • 〃）满足线性方程组小+时+…相=%0 + Q/1 H F anx^ = yY、％+冉+…+勾土'：=义由线性代数知，线性方程组（2.2.4）11v =1的系数行列式是〃 + 1阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且n z-1=nn3f1=1 j=0因为x0 x, • • • xH是区间[a,b]±.的不同点，上式右端乘积中的每一个因子.％ —Xj N 0 ,于是系数行列式不等于0,即方程组（2.2.4）的解存在且唯一.从而得出插值多项式的存在 唯一性定理.定理2. 1若插值节点Xo.Xi, • • • X”互不相同，则满足插值条件（2. 2. 3）的n次插值多项式（2. 2. 2 ）存在且唯一.2. 3求插值多项式的拉格朗日（Lagrange）法在2. 2节，插值多项式存在唯一性的证明过程不仅指出了满足差值条件的K次插值多项 式是存在唯一性的，而且也提供了插值多项式的一种求法，即通过解线性方程组（2.2.4）来 确定其系数"但是，当未知数个数很多时，这种做法的计算量大，不便于实际应用.Lagrange基于用简单插值问题的插值函数表示一般的插值函数的思想，给出一种求插值函数的简便方 法，即Lagrange插值法.2.3.1 Lagrange插值基函数先考虑简单的插值问题：对节点气.。
0,1,…〃）中任意一点改（0< Z: <〃）作一个k次多项式lk（x），使它在该点上取值为1,而在其余点%； @ = 0,1/ T/ + 1,•••,〃）上取值为零, 即满足插值条件1 i = k "3）= <八.j （2.3. 1）0 i.k式（2.3.1）表明〃个点也.（，= 0,l,Sl,k+l,…〃）都是〃次多项式/J"）的零点，故可设lk（x） = Ak（X - Xo ）（x - %!） • • • （x - xk_x ）（x - xk+i） • • • （x - , 其中 Ak 为待定系数，由条件43)= 1 可得 a%2故“（x） = （x 一工…"一、）（x 一知）.急7） （2.3.2）W …（L - L-1）（L - L+1）…（xk~xn）对应于每一节点xk（O
• • •（X — Lt）（x — L+i ） • • • （x — x“）（L 一工0）. • .（L 一L—1）（L 一L+1）. . .（L — %）（2. 3. 4）令〃 =1 , 由式(2. 3.4)即得两点插值公式r /、 X 一工1匕（x） = Vo +J1气一X]x-x0邑一气（2. 3. 5）A ⑴=% + —~—（X -工0 ）也一X2. 3. 6）这是一个线性函数，用线性函数L(x)近似代替函数f(X)，在几何上就是通过曲线y = f(x)上两点(x0, y0),(x,, y,)作一直线y = Li(x)近似代替曲线y = f (x),如图2-2所示,故两点图2-2 线性插值的几何直观图令〃 =2, 由式(2.3.4)可得常用的三点插值公式L,（x） = y° ）（xf）（xf ）（xf）+必（xf） （2.3.7）■ （x一X1）（X°—L） （X, -XO）（X] -x2） ■ （x2 -x0）（x2 -%!）这是一个二次函数，用二次函数L(x)近似代替函数f(x)，在几何上就是通过曲线y = f (x)上的三点(％ %),(%],叫),(%2，力)作一抛物线y =右⑴，近似地代替曲线v = /（-r），如图2-3所示，故三点插值又称二次插值，或抛物线插值.图2-3二次插值的几何直观图例2.1已知7100-10,7121 -11,7144 = 12 ,分别用线性插值和抛物线插值求V115的值.解因为115在100和121之间，故取节点气=100,也=121,相应地有无 =1°，M =11，于是，由线性插值公式(2.3.5)可得［八 x—121 x —100L ⑴=10 X + 11X 1 100-121 121-100故用线性插值求得的近似值为/.. .. . „ 115 — 121 115 — 100 . „ ..V115 «L(115)=10x + llx « 10.714；1 100-121 121-100同理，用抛物线插值公式(2.3.7)所求得的近似值为,— / 、 (115 — 121)(115—144) (115 — 100)(115 — 144)V115 (115 = 10x 」+ llx* '一' ' (100-121)(144-121) (121-100)(121-144)门 *(115 — 100)(115 —121)X (144-100)(144-121)»10.732将所得的两个近似值与VT15的精确值10.7328••-相比较，可以看出抛物线插值的精确度更好.为了便于在计算机上执行，我们常将Lagrange插值多项式(2.3.4)改写成如下对 称形式( 、(2. 3.8)k=07=0X-X.则可用二重循环来完成L,,(x)值的计算，先通过内循环，即先固定*，令，从0到〃(j丰k)累乘求得z,(x)=n)=0( 、X — XjX, -X., \ k j 7；然后再通过外循环，即令*从0到〃，累加得出插值结果2.3.3插值余项在插值区间［a,b］上用插值多项式P(x)近似代替f(.r),除了在插值节点x上没有误差以外，在其他点上一般都有误差.若记&⑴=f⑴一月⑴，则RQ)就是用P„ (x)近似代替f(.r)时所产生的截断误差，称虬(%)为插值多项式Pn (x)的余项.关于插值多项式的误差有定理2. 2的估计式.定理2. 2设 f(x)在区间［a,b］±.有直到〃+ 1阶导数，%石,为区间［a,b］上 〃 +1个互异的节点，4(x)为满足条件：Pn(x；) = f (x；)(i = 0,1,• • •,«)的"次插值多项式，则对于任何x e ［a,b］有RS」"用⑴ (2.3.9)其中 。