椭圆及其标准方程教师版

椭圆及其标准方程教师版 椭圆及其标准方程 x2y2 1.已知F1,F2是椭圆2 2 l(a b 0)的左、右焦点，点P是椭圆上的点，I是 ab AF1PF2内切圆的圆心，直线PI交x轴于点虬则| PI | : | IM |的值为()A. caab B. C. D. acba 【答案】B【解析】 试题分析：F1PF2内切圆的圆心I是内角平分线的交点，因此F1I是PF1F2的平分 线，F2I是PF2F1的平分线，由角平分线定理知 PIIM PF1F1M PF2F2M ,考虑到椭圆 的定义及比例性质， PIIM PF1F1M PF2F2M PF1 PF2F1M F2M 2aa . 2cc 考点：角平分线性质及椭圆的定义. 2.椭圆4x 9y 144内的一点P(3, 2),过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的 直线方程() A. 3x 2y 12 0 B. 2x 3y 12 0 C. 4x 9y 144 0 D. 9x 4y 144 0 案】B.【解析】 试题分析：设弦的两端点坐标为A(xl,yl),B(x2,y2),因为点P是中点, xl x2=6, 22 yl y24(xl x2)2 4x1 9yl 144 yl y2=4.又因为2 ,两式相减可得.2 xl x29(yl y2)3 4x2 9y2 144 22 即直线的斜率为 所以 2 ,所以所求的直线为2x 3y 12 0.故选B.本题的解题采用点差3 法求出斜率是突破口. 考点：1.线段的中点公式.2.点差法的应用.3.直线方程的表示. x2y2 xy M x 13.已知集合 ，N y 1 ,则() 4 32 9 A. B. (3,0), (2,0) C. [ 3, 3] D. 3, 2 【答案】C 【解析】 试题分析：集合M=[-3, 3],N=R,所以M N [ 3,3],故选C. 试卷第1页，总34页 考点：1.椭圆方程的性质；2.集合的运算. 4. 若直线mx ny 4和00 : x y 4相离,则过点(m, n)的直线与椭圆22 x2y2 1的交点个数为()94 A.至多一个B. 2个C. 1个D. 0个 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得，4 m2 n2 2,则m2 n2 4,所以点P(m, n)在以原点 为圆心，以2为半径的圆内的点，而椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2,所以圆 m2 n2 4内切于椭圆，即点P在椭圆内，所以过点P的直线与椭圆一定相交，它们的公 共点的个数为2,故选B. 考点：本题要求学生掌握直线与圆的位置关系，会用点到直线的距离公式化简求值，以 及掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的思想方法. x2y2 5. 椭圆 1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过Fl,若ABF2的内切圆周2516 长为,A,B两点的坐标分别为(xl,yl)和(x2,y2),则y2 yl的值为()A. 510205 B. C. D. 3333 【答案】D 【解析】 试题分析：由椭圆的标准方程可得：因为ABF2的内切圆周长为，a 5,b 4, c 3, 1,则根据三角形内切圆半径R和周长L与三角形的面2 111积S的关系有S LR,所以ABF2的面积为4 5 5,而ABF2的面积又222 1 等于 AF1F2 和 BF1F2 之和，即 |y2 yl | |F1F2| 3|y2 yl| ,所以 2 53|y2 yl 5,则y2 yl ,故选D. 3所以ABF2的内切圆的半径为 考点：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，工角形内切圆性 质，本题的关键是求出^ABF?的面积，并考查了数形结合的思想方法. x2 26.椭圆+y=l上的点到直线2x—y=7距离最近的点的坐标为()2 A. (-4141417417, ) B. (, -) C. (一，)D. (, -) 33333333 【答案】B 【解析】试卷第2页，总34页 试题分析：设和椭圆相切且和直线平行的直线为y 2x b,联立椭圆方程得 9x2 8bx 2b2 2 0,因为直线和椭圆相切，所以 64b2 36 2b2 2 0, b 3,由图可知b 3,直线为y 2x 3,解得切点 坐标为 41 , ,此点就是所求点，故选B. 33 考点：椭圆和直线. x2y2 7.已知椭圆E： 2+2 = 1 (a>b>0)的右焦点为F(3, 0),过点F的直线交E于A, baB 两点.若AB的中点坐标为(1, -1),则E的方程为() x2y2x2y2x2y2x2y2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. +=2718945363627181 【答案】D 【解析】 xl2yl2 1 a2b2 试题分析：由题意c 3,设A(xl, yl), B(x2, y2),代入椭圆中得，2,两 2 x2 y2 1 a2b2 yl y2b2xl x2b2 Ib2xl2 x22yl2 y22 2 2 2,所以 0,即式相减 得 22x1 x2ayl y2alaab b2122 得 2 ，又 c 3,得 a 18, b 9,故选 D. a2 考点：1.椭圆中a, b, c的关系；2.点差法的应用. x2 y2 1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A,B,C,D四点，8.过椭圆4 则四边形ABCD面积的最小值为()试卷第3页，总34页 (A) 2 (B)【答案】D【解析】 343332 (C) (D) 252525 试题分析：当两条直线斜率都存在时，设直线AC 的方程为y kx,与椭圆 x21 1 联立后得：(k2)x2 2x 3k2 1 0,设 A(xl, yl), C(x2 441 b2 4ac 12k4 4( k2) (3k2 1) k2 i 4 AC| 1 k2 , 1 k24 同理 12 ( 4 4k2|BD| 2 112k 4 ()4k 1 k21A2 k22k 4 1 k2 ) 以 IS 2 2, k4 2 4 2 k24 2 (k 4 81 () 因为 2 4k2 1 k 4 25(1 k)22 (4k 1) (k 4) 24 22 ,所以 8(1 k2)2 432 S ,故选D 25 (k2 1)225 考点：1.椭圆中关于方程组的联立；2.弦长公式以及四边形面积的求法. x2y2 l(xy 0)上的动点，F1.F2分别是椭圆的左右焦点，9.已知点P是椭圆0168 为原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1M MP,则0M长度的取值范围是 () A. 0, 3 B. 0, 22 C. 22, 3 D. 0, 4 【答案】B【解析】 试题分析：由椭圆的对称性，只要研究动点P在第一象限的情况，当点P与点A重合 时，M与原点0重合，此时0M最短为0,当点P与点B重合时，M与F1重合，此时0M 最长为又点P与点A, B不重合，所以0M的取值范围0, 22. 试卷第4页，总34页 y FlxFB 考点：椭圆的简单几何性质. 10. 若AABC顶点B,C的坐标分别为(—4,0), (4,0), AC, AB边上的中线长之和为30, 则AABC的重心G的轨迹方程为() x2y2x2y2A. 1(y 0) B. 1(y 0) 1003610084 x2y2x2y2 C. l(x 0) D. l(x 0) 1003610084 【答案】B 【解析】 试题分析：由重心的性质可知：GB GC 2 30 20>8,由椭圆定义知重心G的轨3 迹是以B,C为焦点的椭圆，且a 10, c 4, :.b2 84,故轨迹方程为 x2y2 l（y 0）. 10084 考点：1、三角形重心的性质；2、椭圆的定义；3、轨迹方程. x2y2 11. 椭圆点P是椭圆上任意一点，则PF1 PF2 1的左右焦点分别为Fl、F2, 43 的取值范围是（） A. 0,4 B. 0, 3 C. 3,4 D. 3,4 【答案】D 【解析】 x2y2 1的长轴长为4,焦距试题分析：由椭圆定义知，PF1 PF2 4,且椭圆43 为2,所以1 PF1 3, 2令 PF1 t,则 PF2 4 t,令 f t PF1 PF2 t 4 t t 4t,由二次函数 的性质可知，函数f t在t f t max f 2 2 4 2 2处取得最大值，即 4,试卷第5页，总34页 函数f t在t 1或t 3处取得最小值，由于f 1 f 3 3,故 f t min 3,即 PF1 PF2的取值范围是3,4 ,故选D. 考点：1.椭圆的定义；2.二次函数的最值 x2y2 12, 已知对kGR,直线y-kx-l= 0与椭圆 1恒有公共点，则实数m的取值范5m 围是（） (A) 0, 1 (B) 0,5 (C) 1,5 5, (D) 1, 5 【答案】c 【解析】 x2y2 试题分析：•椭圆 L m 0,且m 5,直线y kx 1 。恒过定点(0, 1), 5m Ix2y2 欲使其与椭圆 只需让(0, 1)落在椭圆内或者椭圆上，1, 1恒有公共点，5mm /.m 1, m 5,选 C. 考点：1、过定点的直线系；2、直线与椭圆的位置关系. x2y2 13. 椭圆N是MF1的中点.贝U|0N|等于() 1上一点M到焦点F1的距离为2, 259 3 (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 2 【答案】B 【解析】 试题分析：设椭圆的另一焦点为F2, VMF1 MF2 2a 10, AMF2 8,连接 MF2, 0N,在 MF1F2 中，0N 是 MF1F2 的中位线，AON 1MF2 4, .•.选 B. 2 考点：1、椭圆的定义；2、三角形的中位线. x2 214.椭圆C:2 y l(a 0)的左右焦点分别为 4 Fl, F2, P为椭圆上异于端点的任意的a 点，PF1, PF2的中点分别为虬N,0为坐标原点，四边形0MPN的周长为 72 q 则△ PF1F2 的周长是() V2 A. B. 72 73 C. 试卷第6页，总34页 D. 4【答案】A 【解析】 试题分析：根据椭圆的定义和三角形中位线定理可得OM+ON+PM+PN= PFl+PF2=2a,即 73 c2 a2 b2 3 1 2 ,所以 q ,APF1F2 的周长=PF1+PF2 V2 +2c=,故选 A. 考点：1.椭圆的性质；2.三角形中位线定理. x2 15.已知椭圆E： y2 1,椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两4 个焦点（如图）,则这个平行四边形面积的最大值是. V3 【答案】4 【解析】 .i)当直线AB与x轴垂直的时候ABCD为矩形面 妗. 积 为.ii)当直线AB不垂直x轴时假设直线lAB:y k(x lCD:y k (x. A (xl, yl) , B (x2, y2),所以直线AB与直线CD的距离 d= y k( x .又有.消去22 x 4y 4 2y可得 8阪 :4 (3k \ 4k2 + 1 车 2 l)x(4k 1) x 12k 4 0. xl x2 xlx2 .所以 24k 1222 l)k 24(1)AB .所以平行四边形的面积21k 41 $=令k2 t.所以 试卷第7页，总34页 V3 S 因为8t 1 0时.S的最大 值为4.综上S的最大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.考点：1. 分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式