高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案——2022年整理

考试资料word版本——2023年最新整理 高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案 A组 1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°． 答案：（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）236°50′，第三象限； （4）300°，第四象限． 说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角． 2、写出终边在x轴上的角的集合． 答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}． 说明：将终边相同的角用集合表示． 3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来： （1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°． 答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°； （2）{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°； （3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′； （4）{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°； （5）{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°； （6）{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°； （7）{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°； （8）{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角． 4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 答案： 象限 角度制 弧度制 一 {β|k·360°＜β＜90°＋k·360°，k∈Z} 二 {β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k∈Z} 三 {β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k∈Z} 四 {β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k∈Z} 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合． 5、选择题： （1）已知α是锐角，那么2α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么是（ ）、 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°． （2）D 说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，所以，k∈Z．当k为奇数时，是第三象限角；当k为偶数时，是第一象限角． 6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长． 说明：了解弧度的概念． 7、把下列各角度化成弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°． 答案：（1）；（2）；（3）；（4）8π． 说明：能进行度与弧度的换算． 8、把下列各弧度化成度： （1）；（2）；（3）1.4；（4）． 答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°． 说明：能进行弧度与度的换算． 9、要在半径OA=100cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112cm，求圆心角∠AOB是多少度（可用计算器，精确到1°）． 答案：64° 说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式． 10、已知弧长50cm的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm）． 答案：14cm． 说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式． B组 1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S1． （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S2，求S1与S2的比值； （2）要使S1与S2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？ 答案：（1）（略） （2）设扇子的圆心角为θ，由，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°． 说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：（黄金分割比）的道理． 2、（1）时间经过4 h（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．） 答案：（1）时针转了－120°，等于弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度 （2）设经过t min分针就与时针重合，n为两针重合的次数． 因为分针旋转的角速度为， 时针旋转的角速度为， 所以， 即． 用计算机或计算器作出函数的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间． n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22． 1440. 因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min），所以，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次． 说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论． 3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad．如果大轮的转速为180r/min（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是__________． 答案：864°，，151.2π cm． 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是 由于大齿轮的转速为3r/s，所以小齿轮周上一点每1s转过的弧长是． P20 习题1.2 A组 1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值： （1）；（2）；（3）；（4）1500°． 答案：（1）； （2）； （3）； （4）． 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求． 2、已知角α的终边上有一点的坐标是P（3a，4a），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值． 答案：当a＞0时，；当a＜0时，． 说明：根据定义求三角函数值． 3、计算： （1）6sin（－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°； （2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°； （3）； （4）． 答案：（1）－10；（2）15；（3）；（4）． 说明：求特殊角的三角函数值． 4、化简： （1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°； （2）－p2cos180°＋q2sin90°－2pqcos0°； （3）； （4）． 答案：（1）0；（2）（p－q）2；（3）（a－b）2；（4）0． 说明：利用特殊角的三角函数值化简． 5、根据下列条件求函数的值． （1）； （2）． 答案：（1）－2；（2）2． 说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题． 6、确定下列三角函数值的符号： （1）sin186°； （2）tan505°； （3）sin7.6π； （4）； （5）cos940°； （6）． 答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 7、确定下列式子的符号： （1）tan125°·sin273°； （2）； （3）； （4）． 答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 8、求下列三角函数值（可用计算器）： （1）； （2）； （3）cos398°13′； （4）tan766°15′． 答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045． 说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值． 9、求证： （1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0； （2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0； （3）角θ为第一或第四象限角当且仅当； （4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0． 答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0． 当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0； 当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0， 所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0． 再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角． 因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0， 当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角； 当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角， 所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角． 综上所述，原命题成立． （其他小题略） 说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号． 10、（1）已知，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值； （2）已知，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值； （3）已知，求sinα，cosα的值； （4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）． 答案：（1）； （2）； （3）当α为第二象限角时，， 当α为第四象限角时，； （4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1， 当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1． 说明：要注意角α是第几象限角． 11、已知，求cosx，tanx的值． 答案：当x为第三象限角时，； 当x为第四象限角时，. 说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论． 12、已知，求cosα－sinα的值． 答案： 说明：角α是特殊角． 13、求证： （1）； （2）tan2α－sin2α=tan2α·sin2α； （3）（cosβ－1）2＋sin2β=2－2cosβ； （4）sin4x＋cos4x=1－2sin2xcos2x． 答案：（1）； （2）； （3）左边=1－2cosβ＋cos2β＋sin2β=2