知识点48几何最值2018--1

一、选择题 1. （2018山东滨州，11，3分）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ） A． B． C．6 D．3 A B O P M N 第11题图 【答案】D 【解析】分别以OA、OB为对称轴作点P的对称点P1，P2，连接点P1，P2，分别交射线OA、OB于点M、N则此时△PMN的周长有最小值，△PMN周长等于＝PM＋PN＋MN＝ P1N＋P2N＋MN，根据对称的性质可知，OP1＝OP2＝OP＝，∠P1OP2＝120°，∠OP1M＝30°，过点O作MN的垂线段，垂足为Q，在△OP1Q中，可知P1Q＝,所以P1P2＝2P1Q＝3,故△PMN的周长最小值为3． 第11题答图 【知识点】轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形（有一个角为30°）的性质。 2. （2018四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点为原心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 　 D. 【答案】D 【解析】由题可知，B（-2,0），C（0，），P为直线上一点，过P作圆O的切线PA，连接AO，则在Rt△PAO中，AO=1，由勾股定理可得，要想使PA最小，要求PO最小，所以过点O作OP⊥BC于点P，此时PO=，PA= P A O y x C B 【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理 3. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为（ ） A.或 B.或 C. 　 D. 【答案】D 【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a2-a+3，对称轴为x=-1，当时，随的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为时，的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=1时，y=9，带入可得，a1=1，a2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性 4. （2018四川绵阳，10，3分） 一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：，） A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里 【答案】B. 【解析】解：如图所示， 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°， 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE， 设BD=x， 则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x， ∴AC=AD+DE+CE=2x+2x， ∵AC=30， ∴2x+2x=30， 解得：x=≈5.49. 故选B. 【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用 5. （2018四川省宜宾市，8，3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2 +PG2的最小值为（ ） A. B. C.34 D.10 【答案】D 【思路分析】取GF的中点为O，连接PO，则根据材料可知PF2 +PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2，若使PF2 +PG2的值最小，则必须OP的值最小，所以PO垂直于GF时PO的值最小，即此时才有最小值. 【解题过程】取GF的中点为O，连接PO，则根据材料可知PF2 +PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2× 22=8+2OP2，若使PF2 +PG2的值最小，则必须OP的值最小，所以PO垂直于GF时PO的值最小， 此时PO=1，所以PF2 +PG2的最小值为10. 【知识点】阅读理解题；矩形的性质 6.（2018天津市，11，3） 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ） A．AB B．DE C.BD D．AF 【答案】D 【解析】分析：本题考查正方形的性质，轴对称的性质，取CD中点E′连结AE′、PE′，根据正方形是轴对称图形，可得EP=E′P,AF= AE′，结合图形由线段公理可得AE′为AP+EP最小值，进而可得结果. 解：取CD中点E′连结AE′、PE′, 由正方形的轴对称性质，可知EP=E′P,AF= AE′ ∴AP+EP=AP+ E′P, ∴AP+EP最小值是AE′, 即AP+EP最小值是AF. 故选D 【知识点】正方形的性质；轴对称；线段公理 1. （2018山东德州，12，3分）如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心， .绕点旋转,分别交线段于两点，连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( ) 第12题图 第12题答图1 第12题答图2 A．1 B．2 C. 3 D．4 【答案】C 【解析】如图1，连接OB、OC，因为点是△的中心，所以，OA=OB=OC，所以，，所以，所以（ASA），所以OD=OE，结论①正确；通过画图确定结论②错误，如当点E为BC中点时，；因为，所以，所以=，结论③正确；因为，所以BD=CE，所以BD＋CE=BC=4，因为，OB=OC，易得，如图2，当OD⊥AB时，OD最小=BD×tan∠OBD=，所以DE最小=2，所以△周长的最小值为6, 结论④正确. 故选C. 【知识点】旋转，全等，定值，最值 2. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，9，5）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是 （ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B． 【解析】如下图，取AD的中点，连接N交AC于点P，则由菱形的轴对称性可知M、关于直线AC对称，从而P＝PM，此时MP＋PN的值最小，而易知四边形CDN是平行四边形，故N＝CD＝1，于是，MP＋PN的最小值是1，因此选B． 【知识点】菱形的性质；轴对称；最小值；动态问题；最值问题 二、填空题 1. （2018四川泸州，题，3分） 如图5，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 . 第16题图 【答案】18 【解析】做△ABC的高AH，因为S=120，BC=20，所以AH=12，△CDF的周长=CF+CD+DF，CF=5，因为EG是腰AC的垂直平分线，连接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值为AF的长度，在Rt△AHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF周长的最小值为18 H 【知识点】三角形面积，垂直平分线，勾股定理 2. （2018四川内江，23，6） 如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为 ． 【答案】12 【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段OE的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大． 【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，∵AD⊥l，BC⊥l，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠FBO，∠ADO＝∠F，∵OA＝OB，∴△AOD≌△BOF，∴AD＝BF，OD＝OF，∵OE⊥l，∴AD∥BC∥OE，∴＝，∴DE＝CE，∴OE＝CF＝ (BF＋BC)＝(AD＋BC)，∴AD＋BC＝2OE＝6，∵四边形ABCD的面积＝(AD＋BC)×CD，∴当AB∥l时，即AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为×6×4＝12． 【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形； 1. （2018贵州遵义，17题，4分）如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE、DF，则DE+DF的最小值为______ 第17题图 【答案】 【解析】点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，所以DE、DF是△PBC的中位线，DE=PC，DF=PB，所以DE+DF=(PC+PB)，即求PC+PB的最小值，因为B、C为定点，P为对称轴上一动点，点A、B关于对称轴对称，所以连接AC，与对称轴的交点就是点P的位置，PC+PB的最小值等于AC长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，C(0,-3)，AC=，DE+DF=(PC+PB)= 【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题 15． 2. （2018四川攀枝花，15，4） 如图5，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 . 【答案】 【解析】设△PAB中AB边上的高是h， ∵，∴， ∴，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线L上，如图，作点A关于直线L的对称点A'，链接AA',BA',则BA'即为所求的最短距离。在 ∴，即 3. （2018四川自贡，18，4分）如图，在⊿中，,将它沿翻折得到⊿,则 四边形的形状是 形，点分别为线段的任意点，则的最小值是 . 【答案】菱形 【解析】∵，∴是等腰三角形 将沿翻折得到，∴，∴四边形是菱形 沿翻折得到，∴与关于成轴对称 如图所示，作点关于的对称点，根据轴对称的基本性质， 垂直平分，∴，∴， ∴要求的最小值，即在线段、、上分别找点、、，使值最小，根据“两点之间，线段最短”即最小，最小值即为平行线与间的距离. 由题知，， ∴,即，, 在中， ∴的最小值为. 【知识点】菱形的判定，轴对称的基本性质，平行线间距离，解直角三角形 三、解答题 1. （2018山东聊城，25，12分）如图，已知抛物线与x轴分别交于原点O和点F(10，0)，与对称轴l 交于点E(5，5).矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD、BC与抛物线分别交于点M、N.当矩形ABCD沿x轴正