华罗庚学校数学课本五年级下册

目 录第一讲 不规则图形面积的计算（一）.1第二讲 不规则图形面积的计算（二）.8第三讲巧求表面积.17第四讲最大公约数和最小公倍数.23第五讲同余的概念和性质.28第六讲不定方程解应用题.35第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起.40第八讲时钟问题.52第九讲数学游戏.60第十讲逻辑推理（一）.66第十一讲 逻辑推理（二）.72第十二讲容斥原埋.80第十三讲简单的统筹规划问题.88第十四讲递推方法.94第十五讲综合题选讲.102第一讲不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：名称图形周长公式面积公式长方形周长:=2(a+b面积二ab正方形口周长二 4a面积三角形周长=a+b+c面积=/a h平行四边形周长=2 C a+b)面积=ah梯形必bh 7a周长=a+b+c+d面积=a+b)h菱形周长二4a面积=/A C -BD圆周长二 2 n r面 积=嚏铲,扇形3弧长=甯周长=2r+弧长面积=嚏/实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是1 0厘 米 和1 2厘米.求阴影部分的面积。解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（Z A B G、A B D E A E F G）的面积之和。SABDE=9 Q O +1 2）X 1 2 =1 3 2；Si E P G=1 （1 2-1 0）X 1 2 =1 2 又因为 S 甲+S 乙=1 2 X 1 2+1 0 X 1 0=2 4 4,所以阴影部分面积=2 4 4-（5 0+1 3 2+1 2）=5 0 （平方厘米）。例 2如右图，正方形A B C D 的边长为6厘米，A B E、A A D F 与四边形A E C F的面积彼此相等，求三角形A E F 的面积.解：因为A A B E、Z X A D F 与四边形A E C F 的面积彼此相等，所以四边形A E C F 的面积与A A B E、A A D F 的面积都等于正方形A B C D面积的三分之一也就是：S 四 收 感 屈CF=SAJE=S 4 州F =g x 6 X 6 =1 2。在4 A B E 中，因为A B=6.所以B E=4,同理D F=4,因此C E=C F=2,/.E C F 的面积为 2 X 2 +2=2。所以 S 4 A E F=S 四边形 A E C F-S E C F=1 2-2=1 0 （平方厘米）。例 3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是1 0 厘米和6 厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。2解：在等腰直角三角形A B C 中V A B=1 0F瓯=：X 1 0 X 1 0 =5 0。又仲c =5$A仙C =5X5。=2 5,V E F=B F=A B-A F=1 0-6=4,SABEF=（X4X4=8,阴影部分面积=S 4 A B G-S 4 B E F=2 5-8=1 7 （平方厘米）。例 4如右图，A为4 C D E 的D E 边上中点，B C=C D,若4ABC（阴影部分）面积为5 平方厘米.求4 A B D 及4 A C E 的面积.解：取 B D 中点F,连结A F.因为a A D F、4 A B F 和a A B C 等底、等高,所以它们的面积相等，都等于5 平方厘米.所以A A C D 的面积等于1 5 平方厘米，A A B D 的面积等于1 0 平方厘米。又由于a A C E 与4 A C D 等底、等高，所以4 A C E 的面积是1 5 平方厘米。例 5如下页右上图，在正方形A B C D 中，三角形A B E 的面积是8 平方厘米，它是三角形D E C 的面积的（求正方形A B C D 的面积.解：过 E 作 B C 的垂线交A D 于 F。3在矩形A B E F 中A E 是对角线，所以S A A B E=S A A E F=8.在矩形C D F E 中D E 是对角线，所以S Z E C D=S 4 E D F。4 _因此，正方形面积=8 X 2 +8+5 X 2 =3 6 (平方厘米)。例 6如右图,已知：S A A B C=1,A E =E D,B D =-B C,求阴影部分的面积.解：连结D F。VA E=E D,/.S A A E F=S A D E F；S A A B E=S A B E D,2.S飕=SAF=SABFD。7B D=-B C,_ 2 (),ABFD=WABCF=J 2 2 A A B F=y(1-S&A B F)，=5 0，阴影部分面积为52。例 7 如下页右上图，正方形A B C D 的边长是4厘米，C G=3 厘米，矩形D E FG的长D G 为 5 厘米，求它的宽D E 等于多少厘米？4解：连结A G,自A作A H 垂直于D G 于 H,在 A D G 中，A D=4,D C=4 （A D上的高）./.SAAGD=4 X 4 +2=8,又 D G=5,SAAGD=AH X D G 2,，A H=8 X 2 +5=3.2 （厘米），/.D E=3.2 （厘米）例 8如右图，梯形A B C D 的面积是4 5 平方米，高6 米，4 A E D 的面积是5平方米，B C=1 0 米，求阴影部分面积.解：.梯形面积=（上底+下底）X高+2即 4 5=（A D+B C）X 6 H-2,4 5=（A D+1 0）X 6 4-2,/.A D=4 5 X 2 4-6-1 0=5 米。又SAADE=；XA D X 高，即5=；X 5 X 高，.,.A D E 的高是2 米。E B C 的高等于梯形的高减去4 A D E 的高，即6-2=4 米，SABEC=（XB C X 4=：X 1 0 X 4 =2 0 （平方米）。例 9如右图，四边形A B C D 和 D E FG 都是平行四边形，证明它们的面积相5G证明：连结C E,O ABCD的面积等于4 C D E面积的2倍 而 O D EF G的面积也是4 C D E面积的2倍。O ABCD的面积与 O DEF G的面积相等。习题一一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：_ 1 2 1 043 36l s j46 4 3 3 一 3 一1 1 1二、解答题：1.如右图，A B C D为长方形，A B=1 0厘米,A D中点，且FG=2 G E.求阴影部分面积。I、/8J108 1 0 4233 1金1LS311 1B C=6厘米,E、F分别为A B、c862 .如右图，正方形A B C D 与正方形D E FG 的边长分别为1 2 厘米和6厘米.求四边形C M G N （阴影部分）的面积.3 .如右图，正方形A B C D 的边长为5 厘米，4 C E F的面积比a A D F的面积大5 平方厘米.求C E 的长。4 .如右图，已知C F=2 D F,D E=E A,三角形B C F的面积为2,四边形B E D F的面积为4.求三角形A B E 的面积.5 .如右图，直角梯形A B C D 的上底B C=1 0 厘米，下底A D=1 4 厘米，高C D=5 厘米.又三角形A B F、三角形B C E 和四边形B E D F的面积相等。求三角形D E F的面积.6 .如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形,其中大、小正方形的面积分别是6 4 平方米和9 平方米.求长方形的长、宽各是多少？77.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3,已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.8.如右图,A B C D的边长B C=1 0,直角三角形B C E的直角边E C长8,已知阴影部分的面积比4 E FG的面积大1 0.求C F的长.第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集 合A与集合B之间有：SAOB=SA+S-SAOB）合并使用才能解决。例1如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。解 法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。解 法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解 法3：8将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2如右图，正方形A B C D的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。0B解：由容斥原理S阴 影 =S朗 形A CB+S S正 方 形ABCD=XAB2 X2-AB24=x42 x 2 -424（冗 3.1 4-2 _.=1 6 xl-l l%1 6*-=9.12平方米例3如右图，矩 形AB CD中，AB=6厘米，B C=4厘米，扇 形AB E半径AE=6厘米，扇 形CB F的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。DB解：S阴 影=S塌 形A BE+S彪 形 的 S矩 形ABCD=-1 x客x 6 Q+1 x客x 4 。-6x 44 4=兀（3 6+16）-24=13 n-24=15 （平方厘米）（取 =3）o9例 4如右图，直角三角形AB C中，AB 是圆的直径，且 AB=20厘米，如果阴 影（I ）的面积比阴影（I I）的面积大7 平方厘米，求 B C长。分析 已知阴影（I ）比阴影（I I）的面积大7 平方厘米，就是半圆面积比三角形AB C面积大7 平方厘米；又知半圆直径AB=20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7 平方厘米，就可求出三角形AB C的面积，进而求出三角形的底B C的长.解：B C的长=3,14 X（y）+2-7 X2+20=（15 7-7）X24-20=15 （厘米）。例 5如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6 厘米，求阴影部分的面积。分 析 阴影部分的面积，等于底为16、高为6 的直角三角形面积与图中（I ）的面积之差,而图中（I ）的面积等于边长为6的正方形面积减去?的以6 为半径的圆的面积。解：S B|=S A C t）（S S1If、/1 2=-X 110+6)X 6-(6X6-IX7T X622=4 8-9（取 n=3）=3 9（平方厘米）。io例 6 如右图，将直径AB 为3的半圆绕A 逆时针旋转60 ,此时AB 到达AC的位置，求阴影部分的面积（取 n=3）.解：整个阴影部分被线段CD 分为I 和H两部分，以AB 为直径的半圆被弦AD 分成两部分，设其中AD 右侧的部分面积为S,由于弓形AD 是两个半圆的公共部分，去掉AD 弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即H=S,由于：I +S=60圆心角扇形AB C面积I+11 阴影部分面积是-例 7 如右图，AB CD 是正方形，且 FA=AD=D E=1,求阴影部分的面积.解：阴影M的面积+阴影N的面积=Z B CD 的面积=；,阴影网的面积=（正方形面积-*圆面积）X；=-X（ix l-x 7T XI2）2 4=1 x l =l（取兀=3）。.阴影部分的总面积=l）,于是有 a 产 a；m,b,=b j n.（a2,也是整数）所以 a=a i d=a z