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第一次月考复习题一、单 选 题(每题5分,共40分)1.下列说法中正确的是()A.单位向量都相等 B.若就满足同|可且Z与万同向,则日5C.对于任意向量石,石,必有根+万卜忖+忖 D.平行向量不一定是共线向量2.己知点A(-l,2),8(2,y),向量5=(1,2),若通 则实数V的 值 为()1A.-B.6 C.7 D.823.设E为AABC所在平面内一点,若 阮=2反,则()一1一 1一 一 1一 1 一A.AE=-A B +-A C B.AE=-A B AC2 2 2 3C.AE=-A B +-A C D.AE=-A B-A C2 3 2 24.已知菱形ABC。的边长为2,NftM =60。,点 是5。上靠近。的三等分点,则 立.通()A.8 43 3C.1D.25.已知向量7=(2,1),石=10,z+q=5五,贝 小=()A.亚 B.VioC.5D.256.在 AA8C 中,。,。,。是角4 8,。的对边,a=2 b,cosA=3=,则 sin 3 =()A.2 3-B.一5 54C.一58D.-57.已知在AABC中,AB=3,AC=4,BC=J I 6,则 福 阮=()A.34B.32c.32D.348 .在 A B C中,a ,b,c分别为内角A,8,C的对边,若a=J i 3,c =3,且2 5由。=唐(/+0 2一/),则 力3。的面积为()A.B.3出 C.6 D.6A/32二、多 选 题(每题5分,共2 0分,漏选得3分,错选得。分)9 .设向量 =(2,0),b=(1,1),则()A邛用c.R询 司B.a bj/hD.刀 的 夹 角 为:1 0.在A A B C中,角所对的边分别为a,0,C,下列四个命题中,正确的命题为()A.若A:B:C =1:2:3,则a:/?:c =1:2:3;B.若 c o s A sin B;C.若A =3 0 ,a =3,b=4,则这个三角形有两解;D.若A A 6 C是钝角三角形.则t a nA-t a nC c2 B.A C C B 0C.48均为锐角,且5 迅 8 5 6 D.si n A-2 sinC1 2 .在A A B C中,角4 B,C所对的边分别为a,b,C,若 则1石+55+小少=-16.在AABC中,AB=5,AC=10,而 而=2 5,点P是AABC内(包括边界)的一动点,且A P A B +AAC(A e R),贝ij|而|的最大值是.四、解答题17.(本题 10分)已知向量G=(2,1),5=0,3).求 忖+可 的 值;若 向 量 近+万与 +2万平行,求女的值.18.(本 题12分)已知向量与石的夹角。=弓,且W=3,W=2 j5.(1)求 7B,归+年(2)求Z 与2+B的夹角的余弦值.1 9.(本题1 2 分)如图,在平行四边形A B C D 中,AB=1,AD=2,N 8 A =60,BD,A C 相交于点。,M为 8。中 点.设 向 量 通=1,A D =b-(1)求卜一田的值;(2)用1,h表示B D和A M;(3)证明:A B 1 B D2 0 .(本题1 2 分)在锐角4 L B。中,a,b,c 分别为内角A,B,C所对的边,且满足-J 3a-2bsi n A-0 -(1)求角3的大小;(2)若 a +c =5,b-y/l,求 AABC的面积.2 1 .(本题1 2 分)在 A45C中,角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 若a sin B c o sC+c sin B c o s A-i ,且 c。.2(1)求角3的值;(2)若 A =f,且 AABC的面积为46,求 BC边上的中线AM的长.2 2 .(本 题 1 2 分)如图,观测站C在目标A的南偏西2 0 方向,经过A处有一条南偏东4 0 走向的公路,在 C处观测到与C相距3 1 km的3处有一人正沿此公路向A处行走,走 2 0 km到达。处,此时测得C,D相距2 1 km,求D,A之间的距离.【分析】参考答案A,单位向量的方向不一定相同;B,平行向量就是共线向量;C根据加法的三角形法则及其几何意义可判断:D,向量不能比较大小.【详解】解:对于A,单位向量模都相等,方向不一定相同,故A错误;对 于B,平行向量就是共线向量,故B错误;对于c,若 石同向共线,归+m=问+忖,若3石反向共线,|2+q 忖+恸,若 不 共 线,则|2+q 问+|,综上可知对于任意向量a,b,必有p +q4同+W,故C正确;对 于D,两个向量不能比较大小,故错误;故选:C.【点睛】本题主要考查平面向量的基本概念以及加法的三角形法则,属于基础题.2.D【分析】由向量平行的坐标条件得出方程,解之可得选项.【详解】因为点A(-1,2),B(2,y),所 以 通=(3,y-2),又 通/力,=(1,2),所以3x2=lx(y-2),解得y=8,故选:D.【点睛】本题考查向量的坐标运算,向量平行的坐标条件,属于基础题.3.A【分析】由向量的线性运算法则判断.【详解】B C 2 E C A E=A B +B E=A B+-B C =AB+-(AC-AB)=-A B +-AC.2 2 2 2故选:A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算,属于基础题.4.A【分析】_._,1-.?取A B,AO为基底,A E =A B+A。,再 把 通.而 转化成基底运算.【详解】如图,作N E/A B,E M/A D,因为是8 D上靠近。的三等分点,所以M,N也都是三等分点,所 以 乐=丽7 +前=一 通+而,3 31 一2 2 一 1 今 2 1 8A E,AB=-AB+-A D.A B=-.22+-2.2.-=-,故选A.【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用,考查数形结合思想,求解过程中要注意基底选择的合理性,即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底.5.C【分析】把等式|+q=5夜 平方,转化为向量的数量积,然后计算可得.【详解】解析:归+耳=5 Q,又 问=切+1 2 =也,H 一 必 一 2-一 一2-2|r|,+4=a +B=5+2X10+B=5 0,网=5,故选:c.6.A【解析】试题分析:由c os A =3得赢.就=刍,又a=2b,由正弦定理可得s i nB=*=5 5考点:同角关系式、正弦定理.7.B【解析】分析:由余弦定理可得c os B=,利 用 福 元=|丽H配|=麻=该。,又7与B的夹角范围是 0,,T T所以Z与B的 夹 角 为:,故D正确.4故选:CD.【点睛】本题主要考查了平面向量的模、垂直、夹角公式坐标运算公式,考查了共线向量的坐标运算,属于较易题.10.BCD【分 析】A,求 出AB,C,即可由正弦定理求出a:c;B,由c o s A B,即得由正弦定理即可判断;C,由正弦定理解三角形即可判断:D,由和的正切个数化简可判断.【详 解】对 于A 若 于:B:C=1:2:3,.A +5 +C =1 8 0,A =3 0,B =6(r,C =9 0,由正弦定理可得a :/?:c =s i n A:s i n 8:s i n C =:1 =1:G:2,故 A错误;2 2对 于B,.A B w(O,4),且y =c o s x在(0,外 单 调 递 减,若c o s A B,由三角形 中 大 边 对 大 角 得 再 由 正 弦 定 理 得s i n A s i n B,故B正确;对 于C,由正弦定理得,一=,则.口 匕s i n A 4x2 2 ,因为ba,故有两解,故s i n A s i n B s i n 8 =-=a 3 3C正确;对于 D,在n4?C中,t a n j B =-t a n(A +C)=t a n/1 +tanC-,贝i1 -t a n A -t a n Ct a n A-t a n C-1 =tanA+tanC.,当口 相。是钝角三角形,若A或。为钝角,则t a n 6j q n A+i a nt a n A-t a n C 0 l,满 足;若5为钝角,则t a n A-t a n C -l =-0,即t a n Bt a n A-t a n C c o s e =二c o,/C 为锐角,故 A 正确;2a b对于 衣 而 0,.,.|AC|诙OS(不c)0,.-.cosC cosB,sinA cosB=sin,TC 7t因为A 民 可 得A+B,则/C为锐角,故。正确.2 2对于sinA=2sinC,由正弦定理得,a=2c,;.a c,则A C,r./C为锐角,故。正确.故选:ACD12.BD【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得8为钝角,进而可判断.【详解】由正弦定理可得,一一cosA,b sinB整理可得,sinCsinBcosA所以 sin(A+B)-sin Acos B+sin Bcos A sin Bcos A故 sin Acos B 0,所以cos B 3 2 e R,BA=A A C O A =-O B +-O C1 +2 1 +2(2)向量垂直:a _ 1 _石。啰=0。石马+乂%=。,(3)向 量 加 减 乘:a+b=(x x2,yy2),a2=a ,a-b=a-bc osa,b1 8.(1)a-b=-6 l a+2 a-b+b=$2 +2 x(6)+(20=6;(2)设Z与Z+B的夹角为a,a-(a +h a +a-b 9-6 亚贝I COS C C =-j-j i-r=1-j i-r=-=,问 卡+4 -a+b 3 x 7 5 5因此,Z与3+B的夹角的余弦值为日.1 9.1)-y/3 ;(2)BD=b-a 4 A/=Mdb;(3)证明见解析4 4【分析】(I)利用数量积公式以及卜同=J(万求解即可;(2)由向量的加减法进行运算即可用万,5表 示 丽 和 丽:(3)利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.B D=A D-A B=b-a又 A/为3。中点.-.BM =-B D =-(h-a)4 4-1 -3 1 -A M =AB+B M =a +-(b-a)=-a +-b4 4 4(3)A B-BD=a-(b-a)=a-b a2又 v AB=1,A O =2,N BAD=60:.a b-I x 2 x co s 60 -,a =|G=1.福 丽=无5-求=1-1 =()所 以 丽,丽【点睛】本题主要考查了用基底表示向量,利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直,属于中档题.2 0.?;(2)空.3 2【分析】(1)利用正弦定理化简已知的等式,根据s i n A不为0,可得出s i n B的值,由B为锐角,利用特殊角的三角函数值,即可求出B的度数;(2)由b及c o sB的值,利用余弦定理列出关于a与c的关系式,利用完全平方公式变形后,将a+c的值代入,求出a c的值,将a+c=5与a c=6联立,并根据a大于c,求出a与c的值,再由a,b及c的值,利用余弦定理求出c o sA的值,将b,c及c o sA的值代入即可求出值.【详解】(l)v 百a =2 Z?si n A,n由正弦定理得、回si n A =2 si n 3si n A ,所以si n B =,27T因为三角形A B C为锐角三角形,所以N 8 =.3(2)由余弦定理2 =(r+/-2 a c c o s3得。+c1-a c =1,:a+c-5 所以a c =6所以S A B C=c si n B=.A B C 2 22 1.(1)-;(2)2A/7.6【分析】(l)先由正弦定理边角互化,计算求得si n B;(2)由(1)可知口 钻。是等腰三角形,根据面积公式求边长”,口4 0。中,再根据余弦定理求中线AM的长.【详解】(1)a si n B c o s A-b ,2由正弦定理边角互化得 si n A si n B c o s C +si n C si n B c o s A =-si n B,2由于 8 e (O,;r),si n 8%0,0 si n A c o s C +si n C c o sA =,即 si n(A +C)=,,得 si n B =
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