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浙江省岱山县大衢中学2020届高考压轴卷数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“机1”是“函 数/(力=3.-3 G 在区间 1,+8)上无零点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知/(x)是 R 上的奇函数,x 0 时,/(x)=l n x-x+l,则函数y=/(x)的大致图象是()3.九章算术卷第七一盈不足中有如下问题:“今有垣高九尺.瓜生其上,蔓日长七寸.瓠生其下,蔓日长一尺.问几何日相逢翻译为 今有墙高9 尺.瓜生在墙的上方,瓜蔓每天向下长7 寸.葫芦生在墙的下方,葫芦蔓每天向上长1 尺.问需要多少日两蔓相遇其中1尺=10寸.为了解决这一问题,设计程序框图如下所示,则输出的人的值为()I 1U.I I4-若设”J:。五-的 展 开 式 中 的 常 数 项 是()/I t E/&A.8 B.7 C.6 D.5sin xdx,贝!JA.-160 B.160 c.-20 D.205.将 3 名教师和3 名学生共6 人平均分成3 个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1 名教师和1 名学生的概率为()1 2 J _ 3A.3 B.5 c.2 D.56.已知函数/(x)=e+上 I n x的极值点为须,函数g(x)=e +X-2的零点为,函 数 人 二 芈22x的最大值为X 3,则()A%,x2 x3 B.%2%七 c.演 芭 D x3 x2 x,7 .已知函数/(u L f+a i n x,若对任意两个不等的正数占,x2,都 有 小 匕&J4恒成立,2X j -x2则。的 取 值 范 围 为()A_ 4,+00)B.04.挣8 c.(-00,4J d,(-00,4)8 .若复数二满足z J =l 7(i是虚数单位),则z的去掰复数是()A.T+i B.1 +i C.TT D.1 -9 .已知/(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且fM-gM=2+/+1,贝|/+g =()_ 5 5A.-3 B.2 c.3 D.2x =2co sa10.已知曲线C:日 .(a为参数),点p为在x轴、轴上截距分别为8,-4的直线上的一个动y =2si n a点,过点P向曲线引两条切线Q 4,PB,其中A,8为切点,则直线A B恒 过 点()A(2,。)B 昌河 C Of D 加11.在 ABC中,已知a =2,si n(A +B)=,si n A =;,则 c=()8 4A.4 B.3 C.3 D.312.设xe R,则+是“尸 小值为,M+2 切的取值范围为.1616.若等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为4,积为万,则前4 项倒数之和为.三、解答题:共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12分)AA3 C的内角A、B、C的对边分别为。,h,。,点。为 AC的中点,已知2si n 2 Al辿 一 氐 i n C =l,a =5 b =4.2BD 求角C的大小和BO的长;设 NAB的角平分线交80 于 E,求 C EO 的面积.18 .(12分)若函数 x)=a x 2-2a x-21n(xT)(a e R).讨论函数式X)的单调性;若心)在(1,2 上存在两个零点,求a 的取值范围._319 .(12分)已知4(一 2,(),8(2,0),点 c 是动点,且直线AC和直线3 C的 斜 率 之 积 为 4.求动点C的轨迹方程;设直线/与(D 中轨迹相切于点尸,与直线=4 相交于点。,且/(1,),求证:N P F Q =9 0-20.(12分)已知数列%的前项和是S,若 为+|=见+1(*“),S3=1 2 求数列 为 的通项公式;设“,4+1 ,求 数 列 也 的前n项和T“.21.(1 2 分)已知函数/(外=/+2 依+2 1 1!武/?).若/()是单调函数,求。的取值范围;若,f(x)存在两个极值点3,%,且 超 ,求(百)一八)|的最小值.2 2.(1 0分)在锐角VABC 中,角A,B,C 对应的边分别是a,b,c,已知sim 2A+-cos(JB +C)=-1+2COSA 厂l 2J.求 角 A 的大小;若 V A 8C 的面积S=3 J 3,=3.求 5加C 的值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A2、A3、C4、A5、B6、A7、A8、A9、D10、D11、C12、A二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分。13、4 6014、3 万2万15、丁 :16、3三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)BD=(2)Sd C W=2 7 3-3【解析】【分析】(1)由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得ta n C=Y 3,结合范围CG(0,n),可求C 的值,3由余弦定理可得BD 的值.(2)由(1)可知BD2+BC2=4=CD2,可求NDBC=工,可 得SADBC=也,利用三角形的面积公式可2 2求 SA BCE=-SA CED,代入 SA BCE+SA CED=SA BCD=2立,即可解得SA CED的值.2【详解】(1),由题意可得:sinC+1-2sin2A+8-=0,2A/3 sinC+cos(A+B)=0,又 A+B=7r-C,5/3 sinC-co sC=0,可得 tanC=,3VCe(o,n),71:.c=96,在 BCD 中,由余弦定理可得:BD2=3+4-2xV3x2xc6?5=1,6解得:BD=1,(2)由(1)Pfl BD2+BC2=4=C D2,71/.ZDBC=,2.1 后,SA DBC=BDBC=,2 2;CE是/B C D 的角平分线,.,.ZBCE=ZDCE,在 CEB 和4 CED 中,SABCE=-B C C E-sinZBCE,2SA CED=CD CE-sin/LDCE,2-r 先 S BCE BE/3S CED D E 2 O 6 q OA BCE=5A CED,2代入 SA BCE+SA CED=SABe,d2 2 SACED=-产A/3(2 3)=2 32+V3【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和数形结合思想,考查了转化思想的应用,属于中档题.1 8.(I)见 解 析(II)a 1【解析】【分析】(I)求出导函数,函数的定义域,通过当a W O时,当a0时,分别求解函数的单调区间即可;(ED通过它0时,当a0时,利用函数的单调性结合函数的零点,列出不等式即可求解a的取值范围.【详解】解:(I)函数式X)的定义域为(1,+8),当a V 0时,f (x)K x)在(1,+oo弹调递减.当a 0时,令 f(x)=O x-1 =*其中舍去则 x =i +e(i,+8)当x C(1,X oJ时,f (x)o 则A x)在3,+8)上单调递增.所以K x)在(1,1+R)上单调递减,在(1+J,+oo)单调递增.综上所述,当a W O时,自)在(1,+a)洋调递减,当a 0时,所以自)在(1,1 +g)上单调递减,在(1 +oo)上单调递增.(II)由()得,当2 5 0时,1/)在(1,+8洋调递减,不合题意,舍去.当a 0时,由于K x)在(1,2 上有两个零点,又因为f(2)=0,所以2是 的一个零点.因此问题等价于:在 存在一个零点,又 由(I)得,当 时,存在一个极值点,故,即.因此问题等价于:因为令在恒成立,所以 在单调递减,所以 成立,所以存在取所 以 在 存在一个零点.综上所述,另解:当 趋 近 于 时,趋近于正无穷大,则.【点睛】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的零点的求法,考查分析问题解决问题的能力.2 219、(1)亍+(-=1()/0);(2)证明见解析.【解析】3试题分析:Q)设C(x,y),则依题意得%/%成=“利用坐标表示化简可得解;(2)设直线/:y=k x+m,与3/+4产=12联立得3炉+4(区+加=1 2,由相切得A=0,进而得尸 直-4k记m 帝3/村7 7 1 计算 小网=0可证得,试题解析:3 设C(x,y),则依题意得心c%=,又A(-2,0),3(2,0),所以有2 2 2 =-士(yw o),整 理 得 上+X =l(yH 0),即为所求轨迹方程.x+2 x2 4 4 3(2)法1:设直线/:y=kx+m,与3/+4;/=12联立得3/+4(+根1=1 2,即(3+4储+8knr+4根2-12=0,依题意 =(8bn)2-4(3+4用(4 12)=0,即3+4/=/,-S k m .a-4k m1-3+4k2 1-3+4/-4k m 3m)3 +4/3 +4左2 J而3 +4左2 =m2得户-,j)又。(4,4 Z +/7 7),又厂(1,0),则 叮/。=竺一 1,3 1(3,4左+加)=0.知 R PJ.FQ,mm)即 N P F Q =9 0.法2:设P(%,%),则曲线C在点P处切线P Q:苧+号=1,令=4,得又E(l,o),.万/0=(/_ 1,%)3,=0.知f P_ L PQ,k y()J I%,即 N P F Q =9 0.2 0、(I)a“=n +2(n wN*)(II)T.=(n e N*).3+9【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义,判断数列为等差数列,然后利用等差数列的通项公式,即可求解;(2)由(1)求得勿=-,利用裂项相消法,即可求解数列的和.n+2+3【详解】I )因为。“+=%+1(e N*),所以数列仅“是公差为1的等差数列.又因为S 3 =1 2,则4 =3,所以,a,=a+(-1)4 =+2(”e N*).,1 1 1 1(I I)由(I)知,a=-=(、/=F-anan+i(+2)(+3)n +2 +3111111 1 1 1 1 n /gT=b.+b2+b.+b =-+-+-+-=-=-_I n e N .3 4 4 5 5 6 n +2 n+3 3 +3 3 +9、)【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、通项公式的求解,以及利用裂项相消法求解数列的和,其中解答中正确求得等差数列的通项公式,合理裂项是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2 1、(1)-2,+o o)(2)e2-4-4e【解析】【分析】首先确定“X)定义域为(0,+。),求出了(X);根据导函数的形式可知若“X)是单调函数,则/(x)在(0,+“)上恒非负;/(力 符 号 由g(x)=f+O T +1决定,根据二次函数图象可得不等式组,解不等式组求得结果;(2)极值点玉,Z是方程行+以+i =o的两根可得:%+%=_“,xrx2=l,结合/(x)在 冈 目 上 单 调 递 减 可 将|./(x J-_/(x 2)|化简为后一二一2 1nx;,设x;=f,贝卜1 2,设/?(r)=f-y-2 1nz,利用导数求得(。?卜2)=02一5_一4,从而证得结论.【详解】由题意得:函数/(X)定义域为(0,+),/(x)=2 x+2 a +2=2卜+1)X X(1)若 是 单 调 函 数,则/(力 在(。,+8)上恒非负a令g Ghf+GT+l,g(x”0在(0,+8)上恒成立,贝 卜2 或-一 0A =a2-4 2.的取值范围为:2,go)(2)函数/(x)的两个极值点西,是 方 程/+依+1 =0的两根x+x2=-a 9 X j -x2=1又则X e2设 )=/;2 1nf,则“(。=1 +3一3 =(;1 0在 e +o o)上为增函数 h(he2j =e2-y-2 1ne 2=e-4即 2 2 I n x;2 -4x2 e-f(X1)_/(x2)|的最小值为:/-T 4【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题,涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、与极值点有关的最值问题的求解.求解
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