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安徽省肥西中学2020届高三冲刺模拟数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.将函数/(x)=2 s i n 2 x的图象向右平移。0。?个单位后得到函数g(x)的图象,若方程|小)一g(%)|=4的根再,马满足|玉一七1 m m =?则。的 值 是()兀717171B.62/、1 1 +I n x,x 1 /、/、2.已如函数/(x)=0)的焦点为产,准线/与X轴的交点为A,是抛物线C上的点,且轴,若以A E为直径的圆截直线A M所得的弦长为2,则=()A.2 B.2&c.4 D.4 a9.若函数/(x)=G s i n(2 x+e)+c o s(2 x +e)(0 6 7 i)的图象关于(别 对 称,则函数/(X)在7 1 兀上的最小值是()4 6_1 _ 曲A.-1 B.2 c.Y D.2210.在(x-)1 的二项展开式中,/的系数等于()X_ 5 5A.-180 B.3 c.3 D.18011.已知两个等差数列 4、和,4、的前”项和分别为A”和 B“,且A得“=7 一+45不,则使a得n广为整数的正整数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.6UUIT 1 UU1 1 UUI11 2 .设等边三角形A A BC的边长为1,平面内一点M 满足A M=/A B+A C,向量.与 A 3夹角的余弦值为()V 6 石 叵 49A.3 B.6 c.1 2 0.19二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 2 0分。1 3 .已知数列伍 的前项和为S,且满足S”=2。“-2,若数列 满足么=1 0-l o g?an,则 使 数 列 的前n项和取最大值时的的值为.(x +y 1x-y 11 4.若实数X,y满 足 约 束 条 件 X 2 0,贝!z =x-2 y的最大值是.y+x0,_(y+元)(y _ X)、j 2 2 t-1 5.若实数乐满足不等式组S-l 则 2 二厂+的 最 小 值 为;孙 的最大值为.1 6.已知(1 +3 制”的展开式中含有/项的系数是5 4,贝!|n=.三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD 平面ABCD,E、F分别为PA、BD中点,PA=PD=AD=2.求证:E F”平面PBC;求二面角F-ED-P的正弦值;在棱PC上是否存在一点G,使GF1平面ED F?若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.18.(12分)ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知,7=维 cosA cosB(1俅 角 A;(2)b =也,c=4,点 D 在 AABC 内,且 BD=啦,BDC+ZA=7 t,求 BDC 的面积.19.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2 个红球A.%和 1 个白球B的甲箱与装有2 个红球2那2和 2 个白球 必 的乙箱中,各随机摸出1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。用球的标号列出所有可能的摸出结果;有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由。20.(12分)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的,其中ZBAE=ZGAD=45,AB=2AD=2,N8AO=60.求证:平面BOG 1平面4 X 7;求直线G 8 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.21.(12分)已知函数/(r=1%一1|+卜+2|.求不等式/。)0),证明:m+n.A6x=3cos。,=l+3 sin。2 2.(1。分)在直角坐标系x0)中,直线 的 方 程 为 瓜+y+.=,曲线0 的参数方程为1丁(为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.求直线/和曲线C 的极坐标方程;若直T T9=_(p e R)线 6 与/的交点为M,与 o 的交点为A,B,且点M 恰好为线段A B 的中点,求参考答案一、选择题:本题共1 2 小题,每小题5 分,共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C2、C3、B4、A5、C6、C7、C8、B9、C1 0、D1 1、C1 2、D二、填空题:本题共4小题,每小题5 分,共 2 0 分。1 3、9 或 1 01 4、25 31 5、4 21 6、4三、解答题:共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(I)证明见解析;(H)竿;(n i)不存在;说明见解析【解析】【分析】(I )利用三角形中位线证得E F/P C,利用线面平行判定定理证得结果;(I I)取A D 中点O,利用面面垂直的性质和正方形的特点可证明出P O Q F Q A 两两互相垂直,从而可以。为原点建立空间直角坐标系;由线面垂直关系可得面P D E 法向量为再利用向量法求解出平面E F D 法向量,利用向量夹角公式求得余弦值,再求得正弦值;(I I I)令。=好(可表示出G(f,2 兀出-技),若G F J 平面E D F,则需 与平面E D F 法向量共线,由共线定理得到方程,方程无解,可知不存在G.【详解】(I )连接A C四边形A B C D 为正方形 F 为A C 中点又E为PA中点 EF/PC又PC u平面PBC,EFC平面PBCEF/平面 PBC(I I)取AD中点0,连接P0QFPA=PD=AD-PO 1 AD平面PAD 1平面A B C D,平面PAD A平面ABCD=AD,PO c平面PADPO 1 平面 ABCD PO 1 OF 四边形ABCD为正方形且以 为 原 点,所在直线为坐标轴建立如下图所示的空间直角坐标系则,平面 即 为 平 面,平面即为平面 的一个法向量,即设平面 的法向量又,即,令,则即二面角的正弦值为:(n i)令若 平面,贝 u,又,方程无解棱 上 不 存 在 一 点,使 平面【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角、存在性问题的求解.关键是能够通过已知中的垂直关系建立起空间直角坐标系,从而可利用向量法来求解立体几何中的角度和存在性问题.18、孑(2)1.【解析】【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得smC=smCcosA,由于sm CO,可求cosA=4,结合范围AC(0,可求A 的值.(2)由已知及余弦定理可得BC 的值,求得4BDC=p由余弦定理得CD?+2CD-8=0,解 得 CD的值,根据三角形面积公式即可计算得解.【详解】由题意知:=岳可得:acosB=-ccosA-bcosAcosA cosB由正弦定理可得:sinAcosB=啦sinCcosA-sinBcosA,可得:sin(A+B)=sinC=也sinCcosA,v sinC R 0,cosA=A e(0,A=:(2)由题意知,A=/b=&,c=4,由余弦定理可得:BC=Jc?+b,-2bccosA=J16+2-2*4 x 也 xg=因为NBDC+NA=7 t,可得:ZBDC=p BD=柩又由余弦定理BC2=BD2+CD2-2BD-CD-cosBDC,可得:10=2+CD2-2 x x CD x(.y),可得:CD2+2CD-8=0 解得:CD=2或-4(舍),S ABDC=BD-CD,siMBDC=;/啦 x 2 x y =1.【点睛】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,其中解答中合理利用正弦定理的边角互化,以及余弦定理列出方程求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.19、【答案(I)八 ,2 ,人 2,人,1),2 12,熊 2电,人 2q2,(n)说法不正确;【解析】试题分析:(I)利用列举法列出所有可能的结果即可;(II)在(I)中摸出的2 个球都是红球的结果数,然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率,中奖概率大于不中奖概率是错误的;试题解析:(I)所有可能的摸出结果是:A1;a1,A1;a2,A1,b1,A1,b2,A2,a1,A2,a2,A2,b1,A2,b2,B,a1,B,a2,B,b1,B,b2,(D)不正确,理由如下:由(I)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2 个球都是红球的结果为2 1 个,风声2,阿同,依那2共 4 种,所以中奖的概率为正一,不中奖的概率为1-丁 产 5,故这种说法不正确。考点:概率统计【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法1.枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的.2.树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同.有时也可以看成是无序的,如(1,2)(2,1)相同.20、(1)见 解 析(2)上7【解析】【分析】(1)在A B A D中,由余弦定理可得6。=百,则可得A D,,在直平行六面体中,G D 平面A B C D,则可得0 6,由 此 说 明 如,平面A D G,即可证明平面BOG,平面4 X;(2)以。为原点建立空间直角坐标系。一盯z,表示出各点的坐标,求出平面AEFG的法向量,由直线与平面所成角正弦值的公式即可得到直线G B与平面A E F G所成角的正弦值。【详解】(1)证明:在中,因为 AB=2AZ)=2,Z&4D-600.由余弦定理得,B D2=A D2+A B2-2 A B -A D cos 60,解得B D =6,A B2=A D2+D B2:.A D Y D B,在直平行六面体中,G O _L平面ABC。,QBu平面ABC。,:.G D L D B又 A D c GD=D,B D _L 平面 A D G,平面 8 G _L 平面 A D G.(2)解:如图以。为原点建立空间直角坐标系。一孙z,因为N&4 E=N G 4 D =4 5。,A B =2 A D =2,所以A(1,O,O),5(0,7 3,0),E(0,6,2),G(0,0,l),A%=(-1,百,2),元=(1,0,1),G%=(0,-l).设平面A E F G的法向量n=(x,y,z),n -A E =-x+/3y +2 z-0 1、-2 x W1、x 2三种情况下的解集(2)先求出f(x)的最小值为3 ,代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】(1)由得|x-l|+|x+2 -2 x l x -2则1 1 或 c s 或 V c 1 s,2 x+1 1 3 3 1 3 2 x1 1 3解得:-7 x 6,故不等式x)|x-l-(x+2)|=3,所以=3,k2 1 9因为一+=+=1(m 0),所以根 0,”0,m n m nm+n=+|=f 1 0 +|1 0+2 9 =1 6 m n)v m n)H 9/27当且仅当=J,即2 =4,=1 2时取等号,故叶2 1 6.m n【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法,需要对其分类讨论,然后再求解,在证明不等式时运用了基本不等式“1?的用法,需要掌握此类题目的解法2 2、(1)6 p c o s 0 +p s i n 0 +a =(),p2-2 p s i n 0-8 =0 ;(2)1【解析】【分析】(1)将曲线C变为普通方程,然后将x =o s。,y =p s i n。分别代入/和C的方程中,从而得到极坐J I1标方程;(2)将6 =丁代入曲线C的极坐标方程,可以得到P z+P 3=l,从而求得P 1=q,得到M坐标代入/,从而求得【详解】(1)将x =p c o s(9,y =Q s i n。代 入 百x+y +a =()中得到直线/的极坐标方程为:/3 pc os 0 +ps in0 +a =0在曲线C的参数方程中,消去。,可得/+(y l)2=9即 x2+y2-2 y-8 =0将x=p c o s e,=0$瓶6|代入*2+2 _ 2/_ 8 =0中得到曲线C的极坐标方程为2 2 -2psin 8 =
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