《加15套高考模拟卷》江西省2020届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

江西省抚州市南城第一中学2020届高考全国统考预测密卷数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨慎 丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关按，解之为二，又合面为一”。在某种玩法中，用可表示解下“(9,“6 )个圆环所需的移动最少次数，4 满足4=1,且 为=b 0)的右焦点，点P在椭圆C上，线 段P F与圆(工一,2 +,2=3_相切于点Q,(其中。为椭圆的半焦距)，且P Q =2 Q E则椭圆C的离心率等于()V 5 2 6 A.3 B.3 c.2 D.29.在A A B C中，A B =2,B C =1.5,Z A B C =120.若使该三角形绕直线B C旋转一周，则所形成的几何体的体积是()3兀 5兀 7-9万A.2 B.2 c.2 D.210.已知三棱柱A B C A 4 G的侧棱与底面边长都相等，A在底面A B C上的射影为B C的中点，则异面直线A B与C G所成的角的余弦值为()V 5 5_C.4 D.411.已知P是圆史依-2)2+(丫 +2)2=1上一动点，过点P作抛物线x 2=8y的两条切线，切点分别为A B,则直线AB斜率的最大值为()3 3 A.4 B.4 C.8 D.212.在数列%中，已知q =1,且 对 于 任 意 的 都 有4+=则数列 q的通项公式为()_ n(n-i)_ n(n +l)A.V B.a=n+i C.=2 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在 A B C中，CA=2CB=2,G4 CB=-1,。是 A B C的外心，若CO=x C 4+y C 8,贝 口%+y=.cos A+cos C b+c14.在锐角 A C中，角 4 8,C的对边分别为a,。,c,若。=2,sinA+sinC,则 sinB+sinC的取值范围是.15.已知体积为招的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O,满足%A+OB+OcI=0,则该三棱锥外接球的体积为，16.已知直线l:y=k（x-2）与抛物线C:y2=8x交于A,B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|,则直线1的倾斜角为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）已知函数/（幻=1 一加1+八 2一6（4 6”当心0时，讨论函数”X）的单调性；若。=0f M+x2 I,且 XG（0,l）,求证：/X.18.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程x=2cos a,在直角坐标系M内 中，曲线c的参数方程为l）=2 s in a（a为参数，目，可）.在以直角坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为-（1 +3$血-6）=4.求曲线。的普通方程和曲线E的直角坐标方程；若直线/：x=，分别交曲线C、曲线E于点A,B,求 的 面 积 的 最 大 值.4 519.（12 分）如图，在 AABC 中，已知点。在边 上，AD=3DB,cosA=一，cosZACB=,5 13BC=13.求cosB的值；求C D的长.20.（12分）随着移动支付的普及，中国人的生活方式正悄然巨变，带智能手机，不带钱包出门还渐成为中国人的新习惯2017年我国移动支付增长迅猛，据统计，某支付平台2017年移动支付的笔数占总支付笔数的80%.（I）从该支付平台2017年的所有支付中任取10笔，求移动支付笔数的期望和方差；（I I觑 有500名使用该支付平台的用户，其中300名是城市用户，200名是农村用户，调查他们2017年个人移动支付的比例是否达到了 8 0%,得到2 x 2列联表如下：个人移动支付达到了个人移动支付达到了合80%80%计城市用户27030300农村用户17030200合计44060500根据上表数据，问是否有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关？附：七2 二 n(ad-bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P（x2z k）0.0500.010k3.8416.63521.(12分)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，直线4 的倾斜角为3 0 ,且经过点A(2，l).以坐标原点。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线4：2 COS=3,从原点o 作射线交4 于点M,点 N 为射线OM上的点，满足=记点N的轨迹为曲线C.求出直线4 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；设直线4 与曲线C 交于P,Q 两点，求恒/4 0 的值.T T22.(10分)已知函数/(x)=Asin(0,0,0 e 0 两种情况，确 定/(x)的正负，从而得到函数的单调性；(2)将问题转化为证明：x(l-ln x)(l+x-x3)ev；设 g(x)=x(l-ln x),/z(x)=(l+x-x3)ex,只需证g(x)max 通过求导运算，可知g(%)()=1,证得结论.【详解】(1)函数/(X)的定义域为(0,+8)/，(*+2a2=迫 上 竺 =(2办+1)M1)X X X若a=0 时，则 r(x)0 时，当=:时，/(力=0当0 c x e，时，fr(x 0a a故在上，/(X)单调递减；在(：,+8)上，“X)单调递增(2)若a =0且x e(O,l),欲证ZH+X2 J _ Iex xr-1 一或 2 1 .只需证-1-厂 1e x即证 x(l -l u x)0；故函数g(尤)在(0,1)上单调递增所以g(x)g =1设函数(X)=(1+彳 一/)6”,则(X)=(2+彳 _3/_ 8 3产设函数 p(x)=2+x 3x2 x3,贝!/?f(x)=l-6x 3x2当x e(),l)时，(0)/=8(0)=2二当x e(飞,1)时,故存在X e(O,l),使得(玉)=()即当 X(0，X)时，P(X)(),当 时，/?(%)/z(O)=l所以 x(l-h u)(l+X-X3(0,1)即/+x2-l,X G(0,l)ex x【点睛】本题考查讨论含参数函数单调性、恒成立问题的证明.关键在于能够将恒成立的不等式变成两个函数之间的比较；对于两个函数之间大小关系的比较，通常采用最值间的比较，通过证明g(x)m a x(x)m i n,得到g(x)(x)的结论.2 318、(1)曲线。:炉+产二无丁之。)，曲 线 脱 亍+丫2=1；(2)【解析】【分析】(1)消去参数a可得曲线C的普通方程；由p2=x2+y2,p s in 6=y可把曲线E的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)利用参数方程求出A,B的坐标，再求aA OB的面积及其最大值.【详解】x =2c o s a,、(1)由 C.消去参数a,可得曲线C的普通方程为f+y 2=4(y 2o).y =2s i n a由/?2(i +3s i n*)=4,可得0?+3(/?s i n e=4,贝！|f+/+3,2=4,则曲线E的直角坐标方程为+/=1.4(2)设A(2c o s a,2s i n a),a w 0,兀,其中r =2c o s a,!H!j 8(2c o s a,s i n t z).要使得 A06面积的最大，则8(2c o s a,-s i n e).SA A O B=人 斗 同=g x 3s i n a x|2 c o s c=/s i n 2M.2a G (),2K ,.,.s i n 2 G 1,1.j r 3 冗3当&=:或 一 即f =+0时，A 0 6的面积取最大值不.4 4 一、2【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用.19、(1)(2)【解析】试题分析：根据平方关系由c o s A求出s i n A,利用c o s/ACB求出s i n N ACB,根据三角形内角和关系利用和角公式求出c o s 6,利用正弦定理求出A 3,根据A D =3 D 5,计算8。，最后利用余弦定理求出C D.试题解析：(1)在 A B C 中，c o s A=-,A G(O,7i)所以 s i r t 4=V 1-CO S2A=35同理可得,s i n Z ACB1213所以 c o s B=c o s 兀一(A+N A CB)J =-c o s (A+N A C B)=s i n As i n Z ACB-c o s Ac o s Z ACB一_3 12 4 5 16SZ _ _ V _ _5 13 5 13-65.“c 13 12“/、*,=-s i n z l 4c B=x =20(2)在A B C中，由正弦定理得，s i n A 3 135又 AD=3 DB,所以 8O =LAB=5.4在 BCD 中，由余弦定理得，CD=BD2+BC1-2 B D-B C c o s B=J 52+132-2X5X13X=9五.65【点 睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.20、(1)EX=8,DX=*(2)见解析【解 析】【分 析】(I)从 该 支 付 平 台2017年 的 所 有 支 付 中 任 取10笔，判断是独立重复试验，利用公式直接求移动支付笔数的期望和方差；(H洌 用 联 列 表，求 得/的 值，依据附表尽快做出判断，得出结论.A【详 解】(I)从 该 支 付 平 台2017年 的 所 有 支 付 中 任 取10笔，移 动 支 付 笔 数X满 足XSB(I O$,所以E X=10 xg=8，DX=10 x|x =；(II)由联列表可知：x2=2n(ad-be)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2500(270 x 30-170 x 3Q)440 x 60 x 300 x 200a 2.941 0,p 0),由题意可得即p=4c o s 0,然后化为普通方程；(I I )将h的 参数 方 程 代 入C的直角坐标方程中，得 到 关 于t的一元二次方程，再 由 参 数t的几何意义可得|AP k|AQ|的值.【详 解】*x=2+tcos30(I )直 线h的参数方程为4y =l +t s i n 30,(t为参数)X =2 H-1即，2(t 为参数).设 N (p,0),M(p i，仇)，(p 0,p i 0),y=+tI 2PPI=12 3则 8=4，即 p=一 =12,即 p=4c o 9,工 曲 线C的直角坐标方 程 为x2-4x+y2=0(x O).(D)将h的 参 数 方 程 代 入C的直角坐标方程中，得(2+小)2-4 2+率+(l +1t)2=0,7即+且t 3=0,h，t 2为方程的两个根，2At i t 2=-3,:.|AP|*|AQ|=|t i t 2|=|-3|=3.【点 睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应 用，是中档题.22、(I )=2s i n(x+)(I I )卜 k兀,-Fk7i,Z w Z.3 8 8【解 析】【分 析】(I )直接利用函数的图象求出函数的关系式.(H)利 用(I )的结论，进一步利用函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用求出g(x)=2 c o s 2 x,再利用正弦函数的单调性得单调区间即可【详 解】(I )由 已 知/(X)图 象 得A =2.-y 则 T =2万.因为 T=T =2万，y 0所以0=1.J I JI因为一耳+0=2&肛左 G Z,0 9 八 3）,则。的取值范围为（）1 3 JA.。2 B.-1 a 2 D.a 0,13 0）的离心率为招，则双曲线的渐近线方程为（）a b亚 1 lA.y =2 x B.c.y=P D.y=士 必4 .如图所示，等 边 A B C 的边长为2,D 位边A C 上的一点，且给 =丛。，A D E 也是等边三角形，若良 任 口 =京 贝做的值是（）1-35 .已