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重庆市万州第二高级中学2019-2020学年高考仿真模拟数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共6 0分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数y =a +8 1n x(x e -,e)的图象上存在点p,函数y =V 2的图象上存在点Q,且e。关于x轴对称,则。的取值范围是()6-8 1n 2,e2-6 B 2-6,+o o)10+,,+86-8 1n 2,10+4D.L e-2.已知x e R,s i n x-3 c o s x =右,则 t a n 2x =()4 _ 3 _ 4A.3 B.4 c.4 D.33 .如图,过抛物线y 2=2x(p 0)的焦点F1的直线/交抛物线于点A6,交其准线于点。,若忸q=4忸耳,且|A R|=6,则0为()4 .如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体最长棱的长5.设函数“X)在R上可导,其导函数为/(x),若函数“X)在x =l处取得极大值,则函数=一 矿(力的图象可能是()的公比的取值范围是()A.44 57.3x-y-4 0,若X,y满足约束条件 x-3y+4 0,则一匕的取值范围是x+lx+y-80,A.rl 21 rl 5,r2 5、r5、匕,+0)2 3 B.2 4 c.3 4 D.48.学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行,现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行,则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A.1 14 B.23C.3 D.49已知 OVaVl,()c b-a ac B.b b +aC logba-b+a c+a10.若函数1 )=%*2+*1顺 存在单调递增区间,贝!l a的取值范围是()1 1 1A.(力)B.(%+)C.(T,+8)D.9。11.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若它们的中位数相同,则甲组数据的平均数为甲组426 m32 4 6A.30乙组B.31C.32 D.3312.已知ab 0,且a +b =1,x =(:),y =l o g a b g+J,z =l o gb 则x,y,z的大小关系是()A.z x y B.x y z C.z y x D.x z y二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分。13.若 数 列 满 足 弓=1,且对于任意的 N*都有=4 +1,则1 1 1 1 11 F H 1 1 =a-a2-“2017-2018-2019-.1 4.电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 种2 2c:二-左=l(a 0,b 0)F Q(o,辰)15.已知双曲线 a b 的离心率为2,左焦点为,点J(c 为半焦距).P 是双曲线C 的右支上的动点,且归用+归口的最小值为6.则双曲线。的 方 程 为.16.某工厂投资100万元开发新产品,第一年获利10万元,从第二年开始每年获利比上一年增加2%,从第年开始,前年获利总和超过投入的100万元,则=一.(参考数据:1g2=03010,1g 3=0.4771)三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已 知 函 数#=底+2卜一1|.求不等式/。)2x的解集;当不等式自)1的解集为R时,求实数a的取值范围.20.(12分)如图所示,四棱锥PA3C。中,底面ABCD为菱形,且 B4_L平面ABC。,NA6C=60,E 是 中 点,尸是P C 上的点.p求证:平面AF_L平面尸A D;若 M 是 P D 的中点,当 A 5=A P 时,1 _PF是否存在点尸,使直线E 与平面A E E的所成角的正弦值为二?若存在,请求出P C 的值;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知函数(%)=袱+加 一MXOMGR).讨论函数,(X)的单调性;若曲线y=x)上存在唯一的点例,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点求实数。的取值范围.22.(10 分)如图,四棱锥 S ABCD 中,SD_L 平面 ABC。,AB/CD,AD LCD,SD=CD,AB=AD,CDIAD,M 是 B C 中点,N 是 SA上的点.求证:仰/平 面 5。;求 A 点到平面 Z W 的距离.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、2、3、4、5、6、7、8、9、DABDBABBD10、Bn、B12、D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。201913、14、4 02r2 y-X-115、316 7三、解答题:共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。417、(D 0,y;(2)4,+00)【解析】【分析】(1)分类讨论去掉绝对值,分情况讨论解不等式即可;(2)根据第一问可得到函数的分段形式的表达式,进而得到最低点坐标,所以a +抄=2,-+-=a+2b)-+-,展开根据均值不等式得到最终结果.a b 2 a b)【详解】(1)当x K-l时,/(x)=-3 x+l 3,得工之一5,所以无0当一 1 v x v l时,,f(x)=-x+3 3,得xNO,所以O W x v l当时,/(x)=3 x-l W 3,得所以44一综上,OWxW,,不等式的解集为0,-3 x+l(x -1)(2)由/(x)=x +3(l 1)所以。+2/?=2,因为 0,Z?0,所以湾=*+2 3 泊卜;(4+)*+2)=4当且仅当a =2b =T时等号成立,2 1所 以,的 取 值 范 围 4,).【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,绝对值不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.解决二元的范围或者最值问题,常用的方法有:不等式的应用,二元化一元的应用,线性规划的应用,等.1 8、(I )an=n-(nsT V*).(I D T n2 n+l【解 析】【分 析】(I)由 已 知 得 痴-a n一I=2 n-L由此利用累加法能求出数列 a“的通项公式.,1 I f 1 1 、(ID由(D可得2=7一-=-,由此利用裂项求和法能求出前n项和.4%-1 2 1 2 -1 2/1 +1 y【详 解】(I)当22时,由 于 =2-1,q=l所以 为)+(_1-_2)+(出-4 )+4=1 +3+(2n-l)=2又4=1满足上式,故/=2 (“w N*).,1 1 1 I f 1 (T T b =-=-=-=-”4%一 1 4 2-1 (2 +1)(2-1)2 1 2-1 2 n+l)所以(-+-+3 3 52/-1 2 n+l2 V 2n +)2 +1【点 睛】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意累加法和裂项求和法的合理运用.1 9、(I)(-oo,l)(II)a 2【解 析】【分 析】(I )根据x的范围得到分段函数f(x)的解析式,从而分别在三段区间上求解不等式,取并集得到所求解集;(H)由绝对值三角不等式得到Kx)的最小值,则最小值大于1,得到不等式,解不等式求得结果.【详 解】2x x 1(I)a =-1 时,K x)=2,-1 x 1当x 2 x,即x 0 A x 2x,BPx 1 A-1 x2x的解集为(-8,1)(U)K x)=lx +1 1 +lx+a l la-1 1当-a W-1,即a N 1时,-a g x W-1时等号成立;当-a -l,即a 1a 2【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题,属于常规题型.1 42 0、(1)见解析:(2)一或一2 5【解析】【分析】(1)根据底面菱形的特点得到A E J _ A ),再 由 线 面 垂 直 得 到A E,A E J _平面P A D,进而得到面面|3 A-2|1垂直;(2)建立空间坐标系得到线面角的表达式si n、=石 2.一2二=1,求解即可.【详解】(1)连接AC,因为底面A B C。为菱形,N A B C =6 0,所以 A B C是正三角形,E是BC的中点,.A E J L B C,又A D/B C,,AELA。,PA,平面A B C。,AEu平面A B CD,P A L AE,又2 4门相 =4,4石_1平 面 出。,又AEu平面AEE,所以平面AEb,平面 P A O.以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,不妨设A B =A P =2,则4七=百,则A(0,0,0),C(6,l,0),O(0,2,0),P(0,0,2),E(J 0,0),M(0,l,l),设以、/1尸0 =1(6,一2则 A E =A P +P b =(0,0,2)+4(7 3,1,-2)=(V 3 2,2,2-2 A),又 A E =(出,0,0),设=(x,y,z)是平面AEE的一个法向量,贝 人n -A E =也x=0n-A F=/32x+2y 4-(2-2 2)Z=0取 z =4,得=(。,22 2,A),设直线EM与平面A E E所成角为。,由E M =卜 百 ),得:E M-n|32-2|1s i n。=c o s EM,n =7-r 7 =-J -=一 E M -n V 5.(2/l-2)2+22 5,1 4化简得:1042-134+4=0,解得4=2或/!=不,故存在点尸满足题意,此 时 空 为 上 或 士.P C 2 5【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系,线面角。求线面角,一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离,除以线段长度就是线面角的正弦值;还可以建系,用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量,再求线面角即可。面面角一般是定义法,做出二面角,或者三垂线法做出二面角,利用几何关系求出二面角,也可以建系来做。21、(1)见 解 析;(2)(O.+o o)【解析】【分析】求出厂(X),分四种情况讨论。的范围,在定义域内,分 别 令/(力 0求得x的范围,可得函数力的增区间,/(x)(),通过讨论/的范围,求出函数的单调区间,判断函数的零点个数,确定”的范围即可.【详解】(1)f(x =-+2a x-=2aA A+1(x 0),设g(x)=2o x 2 _%+1(%0)X Xg生c 1 o +/f n 1-1-8Q (1+J l-8a )工田 l-y/-S a 1 +J l-8 a、当0 Q=/(x)联立可得:欣+加 一 ;+2加 卜-1皿+/+1=,现讨论该方程根的个数:设4(x)=l a r +a x -Q+a J +l(x 0),所以=0.h x)=-+2a x-(-+2a t ,设/(%)=p(x),则“(司=1Tz l.J X当a 40时,p (x)0时,”(x)在0,上小于零,在,+87上大于零,所以“(x)在0,上单调递减,在学,+o o 上单调递增,2a )当/空时,(x)在(0,。上大于零,在,,上小于零,所以(x)在(0)上单调递增,在上单调递减,所以(x)在上小于或等于零,且有唯一的零点/.函数y =a?一(!+X-1皿+a产+1开口向上,若其判别式不大于零,则 对 任 意%1,有 (%)0;若其判别式大于零,设其右侧的零点为加,则对任意的玉)m a x 伙1,有(小)0,所 以 在 区 间 爱,+上,存在零点,综上入的零点不唯一;当”叵时,可得/“X”分=0,所以(X)在(0,+8)上单调递增,所以其只有唯一的零点叵;l a2a当1叵时,(X)在 ,母)上大于零,在2。(警,上小于零,所以(X)在 亿+8)上单调递增,在上单调递减,所以(X)在,+8 上大于或等于零,且有唯一的零点7函数丫=加 一,+2小卜一1皿+。/+1在区间 o 4 上一定存在最大值,设为,若“vo,则人在(0,1)上小于零.若 0,当()/时,/z(x0).因为S D L平面AB C。,所以S O J _ C D,M E _ L S。.所以ME,平面S AO.设ZM =2,则M E =3,NE =2,M N l N E2+M E2
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