资源描述
2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
2．如图，一斜坡AB的长为m，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC的高为（ ）
A．3m B．4m C．6m D．16m
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
4．如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a =2；④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，矩形的边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，则的值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
7．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
8．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边，，则该莱洛三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
11．下列结论正确的是（ ）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．平分弦的直线垂直于弦
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．直径是圆的对称轴
12．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是________．
14．抛物线的顶点坐标是______________.
15．关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根，则m的取值范围是__________．
16．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
17．像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+2＝x2，解得x1＝2，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝2时，＝2满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝2．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____．
18．若二次函数y＝x2+x+1的图象，经过A（﹣3，y1），B（2，y2），C（，y3），三点y1，y2，y3大小关系是__（用“＜”连接）
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，DG∥AB，求证：DF＝BG．
20．（8分）如图，中，弦与相交于点， ，连接．求证: ．
21．（8分）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
22．（10分）超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的60%.现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件。设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围；
（2）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少元时w最大，最大为名少元？
23．（10分）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．
24．（10分）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由．
25．（12分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2 ＝____；
同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3 ＝__________；
如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4 ＝___________；
……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n ＝_________．
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =_________．
（理论推导）
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①
将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②
由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．
即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1
根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n 的表达式，写出推导过程．
（规律应用）
（3）比较＋＋＋…… __________1（填“”、“”或“=”）
26．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC，BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若⊙O的半径为3，cosA＝，求CE的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【详解】∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角
2、B
【分析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC和AC之间的倍数关系式，设BC=x，则AC=1.5x，再由勾股定理求得AB=，从而求得BC的值．
【详解】解：∵斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：1.5，AB=，
∴设BC=x，则AC=1.5x，
∴由勾股定理得AB=，
又∵AB=，
∴=，解得：x=4，
∴BC=4m．
故选：B．
【点睛】
本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．
3、C
【详解】解:由图可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．
故选C．
4、D
【分析】这个几何体的侧面是以底面圆周长为长、圆柱体的高为宽的矩形，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，圆柱体的侧面积=底面圆的周长圆柱体的高=
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了圆柱体的侧面积问题，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
5、B
【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一—判断即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故①错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，且抛物线开口向下，
∴当x=1时,有y=a+b+c＜0，故②正确;
∵函数图像的顶点为（-1，2）
∴a-b+c=2，
又∵由函数的对称轴为x=-1，
∴=-1,即b=2a
∴a-b+c =a-2a+c=c-a=2，故③正确；
由①得b2-4ac>0，则ax2+bx+c =0有两个不等的实数根，故④错误；
综上，正确的有两个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
6、C
【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标，将点P的坐标代入中，求出的值即可．
【详解】∵点P是矩形的对角线的交点，点的坐标为
∴点P
将点P代入中
解得
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及反比例函数的性质，掌握代入求值法求出的值是解题的关键．
7、C
【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF；连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG；在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF=AC；DF=AD．
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE=AE=AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG=CG
在Rt△CEG中，
∵CG
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