相似三角形应用举例公开课【教案】

相似三角形应用举例 一、教学目标 1.进一步巩固相似三角形的知识． 2.能够运用三角形相似的知识解决一些实际问题． 二、教学重点及难点 重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的高度（或长度）． 难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、直尺 四、相关资源 五、教学过程 （一）复习导入 E 1．回顾相似三角形的判定方法： （1）相似三角形的定义； （2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似定理； （3）判定定理一 （4）判定定理二 （5）判定定理三 （6）判定定理四 2．相似三角形有哪些性质？ （1）对应角相等，对应边成比例； （2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3）周长的比等于相似比； （4）面积的比等于相似比的平方． 设计意图：通过复习相似三角形的判定方法和性质，及时清除学生学习中障碍，为本节课的学习提供扎实的知识储备． （二）探究新知 【知识点解析】相似三角形的应用,此微课全面介绍相似在实际生活中典型应用,贴近课本,可以用于新课或复习课. 1．测量金字塔高度问题 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230米．据考证，为建成该金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低． 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量该金字塔的高度的吗？ 【例1】 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO． 思考：如何测出OA的长？ 学生小组讨论；师生共同交流，画出示意图：通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA的方法中蕴含的数学知识（金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的底边上的高与金字塔边长的一半的和）． 分析：把太阳光的光线近似看成平行光线，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF， 又∠AOB＝∠DFE＝90°， ∴△ABO∽△DEF． ∴． ∴（m）． 因此金字塔的高度为134 m． 还可以用其他方法测量吗？ 学生尝试用平面镜进行测量． 如图，由△ABO∽△AEF，得．从而可求得． 2．测量河宽问题 估算河的宽度，你有什么好办法吗？ 【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ． 学生先小组讨论；教师在这一活动中重点关注学生们探究的主动性，特别应关注那些平时学习有一定困难的学生．通过例2进一步完善学生们的想法，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐． 解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， ∴△PQR∽△PST． ∴， 即，， PQ×90=(PQ＋45)×60． 解得PQ=90（m）． 因此，河宽大约为90 m． 3．盲区问题 【例3】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD＝12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都是观察者看不到的区域（盲区）． 解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l， ∴AB∥CD． ∴△AEH∽△CEK． ∴， 即． 解得EH=8（m）． 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C． 师生共同总结：利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度或高度问题． 方法可以有： 立标杆、目测、利用太阳光下的影子、利用镜子． 设计意图：学生经历观察、测量、画图、数学建模等活动，获得了解决不能直接测量物体的高度（或长度）的实际问题的思路和一般步骤，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力，从而提高学生理论联系实际解决问题的能力． （三）课堂练习 1．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件： （1）∠APB=∠EPC；（2）∠APE=90°；（3）P是BC的中点；（4）BP︰BC=2︰3．其中能推出△ABP∽△ECP的有（ ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 设计意图：考查三角形相似的判定条件． 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E．若AD=4，DB=2，则DE︰BC的值为（ ）． A． B． C． D． 设计意图：考查学生利用相似三角形的判定和性质进行推理计算的能力． 3．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是（ ）． A． m B． m C． m D． m 4．如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB． 设计意图：考查利用相似三角形的知识测量河宽． 6．如图所示，大江的一侧有甲，乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l千米．现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲，乙两厂去，欲使供水管路最短，抽水站应建在哪里？ 设计意图：考查学生利用相似三角形的知识解决线路最短问题． 答案： 1．B． 解析：（1）中因为∠B=∠C，∠APB=∠EPC， 所以△ABP∽△ECP． （2）若∠APE=90°，则∠APB+∠EPC=90°． 由题意可得∠BAP=∠EPC，∠B=∠C=90°．所以△ABP∽△ECP． （4）中因为BP∶BC=2∶3， 所以BP=BC，PC=BC． 所以=2，且∠B=∠C=90°． 所以△ABP∽△ECP．故选B． 2．A 解析：因△ADE∽△ABC，故． 3．C 4．解：∵AB∥CE， ∴△ABD∽△ECD． ∴． ∴． ∴AB=100（m）． 答：河宽AB为100 m． 5．解：如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直于江边于E，则AD=m千米， BE=n千米，DE=l千米． 延长BE至F，使EF=BE． 连接AF交DE于点C，则在C点建抽水站，到甲，乙两厂的供水管路AC+CB为最短． 设CD=x千米，因为Rt△ADC∽Rt△FEC， 所以，即，解得x=（千米）． 六、课堂小结 1．相似三角形的应用主要有两个方面： （1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决． （2）测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解． 2．利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）构建图形； （3）利用相似解决问题． 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解解决不能直接测量物体的高度（或长度）的实际问题的思路和一般步骤． 七、板书设计 27.2.3相似三角形应用举例 1.测量不能达到顶部的物体高度 2.测量不能直接测量的两点间的距离