《等差数列的概念及其通项公式(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】

第一章 数列 1.2.1 等差数列的概念及其通项公式(2) ◆ 教学目标 1.理解等差数列的概念，会求两个数的等差中项； 2.理解数列的函数特性，掌握等差数列的增减性，并能运用等差数列的性质解决问题； 3.通过等差数列的性质的探究性应用，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养. ◆ 教学重难点 ◆ 重点：会求两个数的等差中项． 难点：会运用等差数列的性质解决问题． ◆ 教学过程 一、新课导入 回顾：前面我们学习了等差数列，能说出等差数列的概念及通项公式吗？ 概念：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. an+1-an=d(n∈N*) 通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d. 二、新知探究 问题1：我们知道，数列是一种特殊的函数，观察等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，你发现an与n的关系与以前所学过的什么函数有关？ 追问1：在通项公式an=a1+(n-1)d中，谁是常量，谁是变量？ 答案：a1和d是常量，an和n是变量. 追问2：变量之间有什么变化关系？ 答案：an随n的变化而变化，且每一个n的值对应一个an.所以an是关于n的函数． 小结：将an=a1+(n-1)d整理一下，可得an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可将an记作f（n）.它是定义在正整数集（或其子集）上的函数. （1）当公差d=0时，f（n）是常数函数，此时数列an是常数列（因此，公差为0的等差数列是常数列）； （2）当公差d≠0时，f（n）是自变量取整数的一次函数. 问题2：你能画出等差数列an的图象吗？ 追问1：an的图象与一次函数y=dx+(a1-d)的图象有什么关系？ 答案：等差数列的图象是一次函数图象的一个子集，是图象上一些间隔的点． 追问2：公差d的几何意义是什么？ 答案：公差d是对应直线y=dx+(a1-d)的斜率. 追问3：d的取值对图象的增减性是否有影响？ 答案：有，分d＞0，d＜0，d=0. 小结：等差数列an的图象是斜率为d，截距为a1-d的直线上，自变量取正整数的点组成的集合. 总结：等差数列的增减性 当d＞0时，数列an为递增数列； 当d＜0时，数列an为递减数列； 当d=0时，数列an为常数列. 问题3：在如下的两个数中插入一个什么数，能让这三个数变成等差数列？ （1）2，（ ），6； （2）0，（ ） ，-4； （3）a，（ ） ，b. 答案：（1）4；（2）-2. 追问1：数列（3）中，中间这个数与前后两个数之间有什么关系？ 答案：设中间这个数是A，则A-a=b-A，整理得A=a+b2． 总结：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项. 如果A是a与b的等差中项，那么A-a=b-A，所以A=a+b2． 条件：如果a，A，b成等差数列. 结论：那么A叫做a与b的等差中项. 满足的关系式：a+b=2A. 显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等差中项. 想一想：你能表达等差数列中任意连续三项之间的数量关系吗？ 答案：设等差数列an中任意连续三项为an-1，an，an+1（n≥2）， 则2an=an-1+an+1，即an=an-1+an+12. 小结：如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列一定是等差数列． 设计意图：通过分析、归纳出等差中项及其满足的关系式，增强学生对等差数列的理解. 【概念巩固】 思考：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列an的通项公式为an=3n+5，则数列an的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等．(　　) (2)等差数列an的单调性与公差d有关．(　　) (3)若三个数a，b，c满足2b=a+c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) (4)任意两个实数都有等差中项．(　　) 答案:（1）√；（2）√；（3）√；（4）√. 三、应用举例 例1 已知（1，1），（3，5）是等差数列an图象上的两点. （1）求数列an的通项公式； （2）画出数列an的图象； （3）判断数列an的增减性. 思考：由图象上的两点可以得到数列的哪两项？ 解：（1）因为（1，1），（3，5）是等差数列an图象上的两点， 所以a1=1，a3=5. 由a3=a1+（3-1）d=1+2d=5，解得d=2， 于是an=1+2n-1=2n-1. （2）数列an的图象是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如图. （3）由（1）可知d＞0，所以数列an是递增数列. 例2 一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度. 思考：1.各级的宽度构成的数列是特殊的数列吗？ 2.如何计算？ 解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为an，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列an成等差数列.依题意，有 a1=33 cm，a7=75 cm. 现要求a2，a3，…，a6，即中间5级的宽度. 依等差数列的定义，有 d=a7-a17-1=75-336=7(cm)， 所以a2=33+7=40(cm)，a3=40+7=47(cm)，a4=47+7=54(cm)，a5=54+7=61(cm)，a6=61+7=68(cm). 因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm. 思考：还有其它方法能求出梯形的中位线长度？ 分析：连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 中位线长度为上、下两底边长的等差中项，即a4的值. 解：根据等差中项的性质可得a4=a1+a72=33+752=54(cm). 例3 已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t ∈N*，且p+q=s+t. 求证：ap+aq=as+at. 解：设数列{an}的公差为d，则 ap=a1+p-1d，aq=a1+q-1d， as=a1+s-1d，at=a1+t-1d， 所以，ap+aq=2a1+p+q-2d，as+at=2a1+s+t-2d， 因为p+q=s+t，所以ap+aq=as+at. 追问1：你能归纳和表达出例题中等差数列的性质吗？ 答案：当等差数列中两项角标和相等时，这两项的和相等. 追问2：等差中项的性质可以用上述性质解释吗？ 答案：当p+q=2s时，ap+aq=2as. 问：在等差数列an中，已知a4+a8=16，则a2+a10=________. 答案：16. 设计意图：通过例题，对等差数列的性质及应用进行练习，掌握从函数的角度研究等差数列，运用等差数列的性质解决问题． 四、课堂练习 1.已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列　 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 2.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 3.已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由； (3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项． 参考答案： 1.等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝5-31-2=-2<0，则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减.故选B. 2.因为5，x，y，z，21成等差数列， 所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y， ∴y＝13， ∴x＋z＝2y＝26 ∴x＋y＋z＝39. 故选C. 3.(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b， 由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得 2d+b=1，4d+b=5，解得b=-3，d=2，所以an＝2n-3. (2)(n，17)是{an}图象上的点． 由2n-3＝17，得n＝10∈N*， 所以(10，17)是{an}图象上的点． (3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列． 令2n-3>0，得n>32， 即n≥2. 所以数列{an}的最小正数项为a2＝1. 五、课堂小结 六、布置作业 教材第15页练习第2，3，4，5题．