《等差数列的前n项和(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

第一章 数列 1.2.2 等差数列的前n项和(1) ◆ 教学目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，并会应用其解决相关问题； 2.体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3.借助等差数列前n项和公式的推导及应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养. ◆ 教学重难点 ◆ 重点：等差数列的前n项和公式． 难点：等差数列的前n项和公式的推导． ◆ 教学过程 一、新课导入 想一想：泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共有多少宝石吗？ 1+2+3+…+100=？ 问题1：高斯在小学时就巧妙地求出了结果，你知道高斯是怎么算的吗？ 高斯的算法：1+100=101，2+99=101，3+98=101，… 共有50个101，101×50=5050. 所以，1+2+3+…+100=(1＋100)+( 2＋99)+…+(50＋51)=101×50=5050． 追问：你知道“1+2+3+…+100”解决的是数列的什么问题？ 答案：等差数列“1，2，3，…，100”的求和问题. 设计意图：通过熟悉的高斯算法自然引入等差数列的求和问题，激发学生的学习兴趣和求知欲． 二、新知探究 问题2：如图，有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？ 分析：根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 1，2，3… 设共堆放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn，则Sn=1+2+3+…+n，这是一个等差数列的求和问题. 问题3：如何计算该等差数列的和呢？ 追问1：从高斯求和的公式中可以得到什么启示？ 答案：等差数列都可以通过“首尾配对”的方法求和. 追问2：n的取值对“首尾配对”有影响吗？ 答案：有，需对n分奇数、偶数进行讨论. 过程展示： 当n为偶数时，Sn=1+n+2+n-1+…+n2+n2+1 =1+n+1+n+…+1+n =n1+n2 当n为奇数时， Sn=1+n+2+n-1+…+(n+12-1)+n+12+1+n+12 =1+n+1+n+…+1+n +n+12 =n-121+n+n+12=n1+n2 所以，对于任意正整数n，都有1+2+3+…+n=n1+n2. 问题4：在求和时对n进行分奇数、偶数讨论比较麻烦，有没有什么方法能避免呢？ 答案：Sn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n ① Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1 ② ①+②，得 2Sn=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1) 所以，对于任意正整数n，都有1+2+3+…+n=n1+n2. 问题5：上述方法可以推广到求等差数列{an}的前n项和吗？ 答案：对首项为a1，公差为d的等差数列an，设Sn是等差数列an的前n项和，即 Sn=a1+a2+a3+…+an. 根据等差数列an的通项公式，上式可以写成 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+a1+(n-1)d， ① 再把项的次序反过来，又可以写成 Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+an-(n-1)d. ② ①+②，得 2Sn=a1+an+a1+an+a1+an+…+a1+an=na1+an. 因此，等差数列an的前n项和公式为Sn=na1+an2. 公式表明：等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 思考：如果已知等差数列首项a1，公差d可以求得前n项和Sn吗？  答案：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代入Sn=na1+an2，可得 Sn=na1+a1+(n-1)d2=na1+n(n-1)d2. 归纳：等差数列的求和公式为 Sn=na1+an2，Sn=na1+n(n-1)d2. 交流：等差数列的前n项和公式中共涉及哪几个相关量？这几个量分别表示什么？这几个相关量中，已知几个可以求出其他几个？ 答案：等差数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公差d，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“知三求二”． 思考：现在能解决本节开始提出的圆木堆放问题吗？ 答案：可转化为求Sn=n1+n2≤200的最大自然数n，易知当n=19时，Sn=190；当n=20时，Sn=210.故n的最大值为19.此时，将堆放19层，剩余10根圆木料. 设计意图：通过问题探究让学生了解等差数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养． 三、应用举例 例1 求从1开始的连续n个正奇数的和. 解：因为正奇数数列是首项为1、公差为2的等差数列.由等差数列前n项和公式，得 1+3+5+…+2n-1=n1+2n-12=n2. 故从1开始的连续n个正奇数的和为n2. 例2 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈请问： （1）第9圈共有多少石板？ （2）前9圈共有多少块石板？ 解：（1）设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为an，由题意可知数列an是等差数列，其中首项a1=9，公差d=9，项数n=9. 由等差数列的通项公式，得 a9=a1+n-1d=9+9-1×9=81(块). （2）由等差数列的前n项和公式，得 Sn=na1+n(n-1)d2=9×9+9×82×9=405(块). 因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板. 设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式，掌握利用等差数列的求和公式解决相关问题． 四、课堂练习 1.已知数列an是等差数列. （1）若a1=7，a50=101，求S50； （2）若a1=2，a2=52，求S10. 2.已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220. 求这个等差数列的首项和公差. 3.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排其后一排都比前以排多2个座位.问第1排应安排多少个座位. 参考答案： 1.解：（1）S50=50×(a1+a502=50×(7+1012=2700. （2）由a1=2，a2=52，得d=12，所以S10=10×2+10(10-12×12=852. 2.解：S10=310,S20=1220，把它们代入公式Sn=na1+n(n-12d，得 10a1+45d=310，20a1+190d=1220. 解方程组，得a1=4，d=6. 3.解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列an ，其前n项和为Sn，根据题意，数列an是一个公差为2的等差数列，且S20=800，由 S20=20a1+20×(20-1)2×2=800，可得a1=21. 因此，第一排应安排21个座位. 五、课堂小结 求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理， 1.“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个。 2.“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解. 六、布置作业 教材第17页练习第1，2，3题．