第二章 导数及其应用用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性◆ 教学目标1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2．能用导数判断函数的单调性，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.◆ 教学重难点教学重点：利用导数判定函数的单调性，求函数的单调区间．教学难点：利用导数判定函数的单调性．◆ 教学过程◆一、新课导入温故知新：同学们，我们之前简单学习了函数的单调性，一起回顾一下.答案：在函数f(x)的定义域上任取区间D若对于任意x1,x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在区间D上单调递增；若对于任意x1,x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)0，函数fx在其定义域内是增函数；对于函数（2）（4），对于定义域内的每一个x都满足f'x<0，函数fx在其定义域内是减函数.问题3：计算幂函数fx=x2的导数，并讨论单调性.答案： f'(x)=2x当自变量x∈(0,+∞)时，f'x=2x>0，函数fx=x2在区间(0,+∞)内单调递增；当自变量x∈(-∞,0)时，f'x=2x<0，函数fx=x2在区间(-∞,0)内单调递减.小结：导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：（1）在某个区间内，函数y=fx的导数f'x>0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增；（2）在某个区间内，函数y=fx的导数f'x<0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减.设计意图：了解导数与函数的单调性之间的关系，主要使用归纳推理的方法，从各种不同的函数类型出发，通过探究它们的导数符号与函数单调性之间的关系，来归纳出一般规律，这样学生的理解成本会比较低，也较为容易接受.三、应用举例例1：讨论函数求fx=2x3-3x2-36x+16的单调性解： f'x=6x2-6x-36 =6(x+2)(x-3)设f'x>0，则6x+2x-3>0，即x<-2或x>3故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时，f'x>0，因此，在这两个区间内，函数fx均单调递增；当x∈(-2,3)时，f'x<0，因此，在这个区间内，函数fx单调递减.例2：讨论函数求fx=x+1x的单调性解： f'x=1-1x2 =x2-1x2设f'x>0，则x2-1>0，即x<-1或x>1当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时，f'x>0，因此，在这两个区间内，函数fx均单调递增；当x∈(-1,0) 或x∈(0,1)时，f'x<0，因此，在这两个区间内，函数fx均单调递减.四、课堂练习1.讨论下列函数的单调性：（1）y=2x2-5x+4 （2）y=3x-x3 2.讨论函数fx=2x-sinx在区间(0,2π)内的单调性.3.写出函数fx=x3-3x2+2的单调区间.4.讨论函数fx=ax-2lnx的单调性.参考答案：1.解：（1）y'=4x-5当y'>0时， x>54故当x∈(54,+∞)时，y'>0，函数单调递增；当x∈(-∞,54)时，y'<0，函数单调递减.（2）y'=3-3x2当y'>0时， -10，函数单调递增；当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时，y'<0，函数单调递减.2.解： f'x=2-cosx因为cosx≤1，所以2-cosx>0故在区间(0,2π)内，f'x>0,函数单调递增；3.解：f'x=3x2-6x当f'x>0时， x<0或x>2故当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时，f'x>0，函数单调递增；当x∈(0,2)时，f'x<0，函数单调递减.4.解： f'x=a-2x =ax-2x(x>0)当a≤0时，f'x<0在(0,+∞)上恒成立;当a>0时，令f'x>0得x>2a，令f'x<0得00时，fx在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增五、课堂小结1.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x>0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增；2.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x<0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减.3. 若在某个区间内，f'x≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增；若在某个区间内，f'x≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减.六、布置作业教材P80 A组第1、2、4题．。