《函数的单调性》示范公开课教案【高中数学北师大】

第二章 导数及其应用 用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 ◆ 教学目标 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2．能用导数判断函数的单调性，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. ◆ 教学重难点 教学重点：利用导数判定函数的单调性，求函数的单调区间． 教学难点：利用导数判定函数的单调性． ◆ 教学过程 ◆ 一、新课导入 温故知新：同学们，我们之前简单学习了函数的单调性，一起回顾一下. 答案：在函数f(x)的定义域上任取区间D 若对于任意x1,x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在区间D上单调递增； 若对于任意x1,x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)0，函数fx在其定义域内是增函数； 对于函数（2）（4），对于定义域内的每一个x都满足f'x<0，函数fx在其定义域内是减函数. 问题3：计算幂函数fx=x2的导数，并讨论单调性. 答案： f'(x)=2x 当自变量x∈(0,+∞)时，f'x=2x>0，函数fx=x2在区间(0,+∞)内单调递增； 当自变量x∈(-∞,0)时，f'x=2x<0，函数fx=x2在区间(-∞,0)内单调递减. 小结：导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： （1）在某个区间内，函数y=fx的导数f'x>0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增； （2）在某个区间内，函数y=fx的导数f'x<0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减. 设计意图：了解导数与函数的单调性之间的关系，主要使用归纳推理的方法，从各种不同的函数类型出发，通过探究它们的导数符号与函数单调性之间的关系，来归纳出一般规律，这样学生的理解成本会比较低，也较为容易接受. 三、应用举例 例1：讨论函数求fx=2x3-3x2-36x+16的单调性 解： f'x=6x2-6x-36 =6(x+2)(x-3) 设f'x>0，则6x+2x-3>0，即x<-2或x>3 故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时，f'x>0，因此，在这两个区间内，函数fx均单调递增； 当x∈(-2,3)时，f'x<0，因此，在这个区间内，函数fx单调递减. 例2：讨论函数求fx=x+1x的单调性 解： f'x=1-1x2 =x2-1x2 设f'x>0，则x2-1>0，即x<-1或x>1 当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时，f'x>0，因此，在这两个区间内，函数fx均单调递增； 当x∈(-1,0) 或x∈(0,1)时，f'x<0，因此，在这两个区间内，函数fx均单调递减. 四、课堂练习 1.讨论下列函数的单调性： （1）y=2x2-5x+4 （2）y=3x-x3 2.讨论函数fx=2x-sinx在区间(0,2π)内的单调性. 3.写出函数fx=x3-3x2+2的单调区间. 4.讨论函数fx=ax-2lnx的单调性. 参考答案： 1.解：（1）y'=4x-5 当y'>0时， x>54 故当x∈(54,+∞)时，y'>0，函数单调递增； 当x∈(-∞,54)时，y'<0，函数单调递减. （2）y'=3-3x2 当y'>0时， -10，函数单调递增； 当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时，y'<0，函数单调递减. 2.解： f'x=2-cosx 因为cosx≤1，所以2-cosx>0 故在区间(0,2π)内，f'x>0,函数单调递增； 3.解：f'x=3x2-6x 当f'x>0时， x<0或x>2 故当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时，f'x>0，函数单调递增； 当x∈(0,2)时，f'x<0，函数单调递减. 4.解： f'x=a-2x =ax-2x(x>0) 当a≤0时，f'x<0在(0,+∞)上恒成立; 当a>0时，令f'x>0得x>2a，令f'x<0得00时，fx在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增 五、课堂小结 1.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x>0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增； 2.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x<0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减. 3. 若在某个区间内，f'x≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增；若在某个区间内，f'x≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减. 六、布置作业 教材P80 A组第1、2、4题．