2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合，，则 A． B． C． D．2．（5分）若，则 A． B． C． D．3．（5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A． B． C． D．4．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.85．（5分）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．27．（5分）已知曲线在点处的切线方程为，则 A．， B．， C．， D．，8．（5分）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则 A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于 A． B． C． D．10．（5分）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点．若，则的面积为 A． B． C． D．11．（5分）记不等式组表示的平面区域为．命题，；命题，．下面给出了四个命题①②③④这四个命题中，所有真命题的编号是 A．①③ B．①② C．②③ D．③④12．（5分）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量，，则， ．14．（5分）记为等差数列的前项和．若，，则 ．15．（5分）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若△为等腰三角形，则的坐标为 ．16．（5分）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答一）必考题：共60分17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中，的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．18．（12分）的内角、、的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．19．（12分）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积．20．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围．21．（12分）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）证明：直线过定点．（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设，，，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合，，则 A． B． C． D．【解答】解：因为，，所以，故选：．【点评】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题．2．（5分）若，则 A． B． C． D．【解答】解：由，得．故选：．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A． B． C． D．【解答】解：方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有种排法，再所有的4个人全排列有：种排法，利用古典概型求概率原理得：，方法二：假设两位男同学为、，两位女同学为、，所有的排列情况有24种，如下：其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为、、、、、、、、、、、，故两位女同学相邻的概率是：，故选：．【点评】本题考查排列组合的综合应用．考查古典概型的计算．4．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：．故选：．【点评】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：函数在的零点个数，即方程在区间的根个数，即在区间的根个数，即或在区间的根个数，解得或 或．所以函数在的零点个数为3个．故选：．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了方程思想，属于基础题．6．（5分）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2【解答】解：设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，，．故选：．【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了方程思想，属基础题．7．（5分）已知曲线在点处的切线方程为，则 A．， B．， C．， D．，【解答】解：的导数为，由在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即，故选：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．（5分）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则 A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线【解答】解：点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，平面，平面，是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，，，，故选：．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于 A． B． C． D．【解答】解：第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；由于，而，可得：当，，此时，满足退出循环的条件，输出．故选：．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．10．（5分）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点．若，则的面积为 A． B． C． D．【解答】解：如图，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．由双曲线方程可得，，，则，则以为圆心，以3为半径的圆的方程为．联立，解得．．故选：．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）记不等式组表示的平面区域为．命题，；命题，．下面给出了四个命题①②③④这四个命题中，所有真命题的编号是 A．①③ B．①② C．②③ D．③④【解答】解：作出等式组的平面区域为．在图形可行域范围内可知：命题，；是真命题，则假命题；命题，．是假命题，则真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①真；②假；③真；④假；故答案①③真，正确．故选：．【点评】本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D．【解答】解：是定义域为的偶函数，，，，在上单调递减，，故选：．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量，，则， ．【解答】解：，，，，．故答案为：．【点评】本题考查数量积的定义和坐标运算，考查计算能力．14．（5分）记为等差数列的前项和．若，，则 100 ．【解答】解：在等差数列中，由，，得，．则．故答案为：100．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前项和，是基础的计算题．15．（5分）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若△为等腰三角形，则的坐标为 ．【解答】解：设，，，椭圆的，，，，由于为上一点且在第一象限，可得，△为等腰三角形，可能或，即有，即，；，即。
