2022届新高考数学一轮练习45　椭圆Word版含解析

专练45　椭圆 考查椭圆的定义、标准方程及几何性质. [基础强化] 一、选择题 1．椭圆＋＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为(　　) A．2　　　　　　　　　　　B．3 C．4D．5 2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为(　　) A．2B．4 C．6D．12 3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　) A．a2＝2b2B．3a2＝4b2 C．a＝2bD．3a＝4b 4．[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13B．12 C．9D．6 5．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 6．曲线＋＝1与＋＝1(k<9)的(　　) A．长轴长相等B．短轴长相等 C．离心率相等D．焦距相等 7．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　) A.B. C.D. 8．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　) A．3B．3或 C.D．6或3 9．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　) A．1－B．2－ C.D.－1 二、填空题 10．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________． 11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________． 12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________. [能力提升] 13．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) A.＋y2＝1B.＋＝1 C.＋＝1D.＋＝1 14．已知椭圆C: ＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A.B. C.D. 15．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________． 16．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________． , 专练45　椭圆 1．D　∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5. 2．B　由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4. 3．B　由题意得，＝，∴＝，又a2＝b2＋c2，∴＝，＝，∴4b2＝3a2.故选B. 4．C　由题，a2＝9，b2＝4，则＋＝2a＝6， 所以·≤2＝9(当且仅当＝＝3时，等号成立)． 故选C. 5．B　∵2a＝8，∴a＝4，e＝，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 6．D　∵c2＝25－k－(9－k)＝16，∴c＝4， ∴两曲线的焦距相等． 7．C　由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2， ∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝. 8．C　由已知a＝2，b＝，c＝1， 若P为短轴的顶点(0，)时，∠F1PF2＝60，△PF1F2为等边三角形， ∴∠P不可能为直角， 若∠F1＝90°，则|PF1|＝＝， S△PF1F2＝··2c＝. 9．D　 不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， ∵∠PF2F1＝60°，∴|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c， |PF1|＝c，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c＝2a. ∴e＝＝＝－1. 10．(3,4)∪(4,5) 解析：由题意可知 解得3b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B. 14．A　由题意得(0,0)到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为a，∴＝a，∴a2＋b2＝4b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴＝，∴e＝. 15. 解析：设P0为椭圆＋＝1的上顶点，由题意得∠F1P0F2≥90°， ∴∠OP0F2≥45°，∴≥sin45°，∴e≥， 又00)，由题意知F(－2，0)，所以线段FP的中点M在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF＝＝. 优解：如图，取PF的中点M，连接OM， 由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2. 因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝.