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专练22 三角恒等变换
考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式.
[基础强化]
一、选择题
1．若sin＝，则cosα＝( )
A．－B．－
C.D.
2．[2020·全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则( )
A．cos2α>0B．cos2α<0
C．sin2α>0D．sin2α<0
3．函数f(x)＝sin2x＋sinx·cosx在上的最小值为( )
A．1B.
C．1＋D.
4．[2021·全国新高考Ⅰ卷]若tanθ＝－2，则＝( )
A．－B．－
C.D.
5．若sin＝，则cos＝( )
A．－B．－
C.D.
6．若cos＝，则sin2α＝( )
A.B.
C．－D．－
7．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝( )
A．－B.
C．2D．－2
8．已知向量a＝(sinθ，－2)，b＝(1，cosθ)，且a⊥b，则sin2θ＋cos2θ的值为( )
A．1B．2
C.D．3
9．(多选)[2021·福建师大附中阶段考试]下列各式中值为的是( )
A．1－2cos275°
B．sin135°cos15°－cos45°cos75°
C．tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°
D.
二、填空题
10．已知sinα＋cosα＝2，则tanα＝________.
11．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.
12．已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.
[能力提升]
13．已知tanθ＝，则tan＝( )
A．7B．－7
C.D．－
14．[2020·全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝( )
A.B.
C.D.
15．若sin＝，α∈，则＝________.
16．化简：.
专练22 三角恒等变换
1．C cosα＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．D 解法一：∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin2α<0，cos2α可正、可负、可零，故选D.
解法二：∵α是第四象限角，∴sinα<0，cosα>0，∴sin2α＝2sinαcosα<0，故选D.
3．A f(x)＝＋sin2x＝sin＋，
∵≤x≤，∴≤2x－≤π，
∴当2x－＝π即x＝时f(x)min＝＋＝1.
4．C 将式子进行齐次化处理得：
＝＝sinθ
＝＝＝＝.
故选C.
5．A ∵－α＋＝，∴cos＝sin＝，∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
6．D sin2α＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
7．A ∵cosα＝－，α为第三象限角，∴sinα＝－.
∵＝＝＝＝＝＝＝－.故选A.
8．A ∵a⊥b，∴sinθ－2cosθ＝0，
∴tanθ＝2，∴sin2θ＋cos2θ＝2sinθcosθ＋cos2θ＝＝1.
9．BD 对于A,1－2cos275°＝－cos150°＝cos30°＝，A错误；
对于B，sin135°cos15°－cos45°cos75°＝sin45°sin75°－cos45°cos75°＝－cos120°＝，B正确；
对于C，∵tan45°＝1＝，
∴1－tan20°tan25°＝tan20°＋tan25°，
∴tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1－tan20°tan25°＋tan20°tan25°＝1，C错误；
对于D，
＝
＝＝
＝＝，D正确．故选BD.
10.
解析：由解得4cos2α－4cosα＋3＝(2cosα－)2＝0，得cosα＝，则sinα＝，所以tanα＝＝.
11.
解析：由sinα＋cosα＝，得1＋sin2α＝，
∴sin2α＝－，∴cos4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
12. 1
解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，又2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b.∴A＝，b＝1.
13．D tan2θ＝＝＝，
∴tan＝＝＝－.
14．A 由3cos2α－8cosα＝5，得3cos2α－4cosα－4＝0，所以cosα＝－或cosα＝2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sinα＝，故选A.
15.
解析：因为＋＝，
所以＋α＝－.
又2＋2α＝，得2α＝－2.
故＝
＝＝2cos.
由于α∈，－α∈，
故cos＝，＝2×＝.
16．解析：解法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
解法二：原式＝
＝
＝
＝
＝1.
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