高中物理高考 第2讲 磁场对运动电荷的作用

第2讲　磁场对运动电荷的作用 一、洛伦兹力的大小和方向 1.定义：磁场对运动电荷的作用力。 2.大小 (1)v∥B时，F＝0； (2)v⊥B时，F＝qvB； (3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ。 3.方向 (1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向。 (2)方向特点：F⊥B，F⊥v。即F垂直于B、v决定的平面。(注意B和v可以有任意夹角) 【自测1】 带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是 (　　) A.只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同 B.如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则其所受洛伦兹力的大小、方向均不变 C.洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直 D.粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变 答案　B 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1.若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。 2.若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动。 3.基本公式 (1)向心力公式：qvB＝m； (2)轨道半径公式：r＝； (3)周期公式：T＝。 注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。 【自测2】 在探究射线性质的过程中，让质量为m1、带电荷量为2e的α粒子和质量为m2、带电荷量为e的β粒子，分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中，发现两种粒子沿半径相同的圆轨道运动。则α粒子与β粒子的动能之比是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB＝m，动能为Ek＝mv2，联立可得Ek＝，由题意知α粒子和β粒子所带电荷量之比为2∶1，故α粒子和β粒子的动能之比为＝＝，故D正确。 命题点一　对洛伦兹力的理解和应用 1.洛伦兹力的特点 (1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。 (2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 (3)洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，洛伦兹力一定不做功。 2.与安培力的联系及区别 (1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。 (2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 3.洛伦兹力与电场力的比较 洛伦兹力 电场力 产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 力方向与场方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 【例1】 (多选)如图1所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v－t图像可能是(　　) 答案　ACD 解析　设初速度为v0，则FN＝qv0B，若满足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μqv0B，物块向下做匀速运动，选项A正确；若mg＞μqv0B，则物块开始有向下的加速度，由a＝可知，随速度增加，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D正确；若mg＜μqv0B，则物块开始有向上的加速度，做减速运动，由a＝可知，随速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，则选项C正确。 【变式1】 [2020·北京市丰台区第二学期统一练习(一)]初速度为零的α粒子和质子经过相同的加速电场后，垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动。已知α粒子和质子的质量之比mα∶mH ＝ 4∶1，电荷量之比qα∶qH ＝ 2∶1。则它们在磁场中做圆周运动的半径之比为(　　) A.∶1 B.1∶ C. 2∶1 D. 1∶2 答案　A 解析　粒子在电场中加速时，有qU＝mv2，在磁场中偏转时，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，两式联立可得，粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝，故两种粒子的半径之比为＝＝＝，选项A正确。 命题点二　带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ (1) 速度的偏转角φ等于AB所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系： (2) φ＜180°时，φ＝2α；φ＞180°时，φ＝360°－2α 类型1　直线边界磁场 直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图2所示) 图2 图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间 t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【例2】 (多选)(2020·天津卷，7)如图3所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(　　) 图3 A.粒子带负电荷 B.粒子速度大小为 C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a D.N与O点相距(＋1)a 答案　AD 解析　由左手定则可知，带电粒子带负电荷，A正确；做出粒子的轨迹示意图如图所示，假设轨迹的圆心为O′，则由几何关系得粒子的轨道半径为R＝a，则由qvB＝m得v＝＝，B、C错误；由以上分析可知，ON＝R＋a＝(＋1)a，D正确。 类型2　平行边界磁场 带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图4所示。 图4 【例3】 (2020·全国卷Ⅱ，17)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图5(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　) 图5 A.M处的电势高于N处的电势 B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移 C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外 D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移 答案　D 解析　电子带负电，故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速，故选项A错误；由左手定则可判定磁感应强度的方向垂直纸面向里，故选项C错误；对加速过程应用动能定理有eU＝mv2，设电子在磁场中运动半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evB＝m，则r＝，电子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角θ满足sin θ＝(其中d为磁场宽度)，联立可得sin θ＝dB，可见增大U会使θ减小，电子在靶上的落点P右移，增大B可使θ增大，电子在靶上的落点P左移，故选项B错误，D正确。 类型3　圆形边界磁场 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图6所示) 图6 粒子做圆周运动的半径r＝ 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90° 【例4】 (2020·全国卷Ⅲ，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) 图7 A. B. C. D. 答案　C 解析　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝m，解得B＝，选项C正确。 类型4　三角形或四边形边界磁场 【例5】 (2019·全国卷Ⅱ，17)如图8，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) 图8 A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　若电子从a点射出，运动轨迹如图线①， ra＝ 由qvaB＝m得va＝＝＝ 若电子从d点射出，运动轨迹如图线②， 由几何关系得r＝＋l2， 整理得rd＝l 由qvdB＝m得vd＝＝＝，选项B正确。 【变式2】 如图9所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为(　　) 图9 A.≤v≤ 　　 B.≤v≤ C.≤v≤ 　　 D.≤v≤ 答案　C 解析　根据洛伦兹力提供向心力可知，v＝，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨迹与AD边相切时速度最大，如图，则有AO′·sin 45°＝O′E，即(r1＋L)sin 45°＝r1，解得最大半径为r1＝(＋1)L，故最大速度为v1＝；当粒子从C点出射时，半径最小，为r2＝，故最小速度为v2＝，则v的取值范围为≤v≤，故C正确，A、B、D错误。 命题点三　带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题 类型 分析 图例 带电粒子电性不确定　 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定　 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一　 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 运动具有周期性　 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 【例6】 (2020·全国卷Ⅱ，24)如图10，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。 图10 (1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； (2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。 答案　(1)　(2)　(2－)h 解析　(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，由左手定则可知磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有qv0B＝m① 由此可得R＝② 粒子穿过y轴